Scacchiera $10 \times 10$

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda burt » 22/09/2015, 15:27

EDIT : ho trovato un grosso errore , scusate, cmq il ragionemento ( sbagliato nell ultimo punto e probabilmente anche in altri ) era questo : pensa alla scacchiera mentre la tasselliamo pezzo per pezzo , arriverà un certo punto dove rimane un solo quadratino 2x2 scoperto ( per un solo quadrettino scoperto intendo non che siano 4 quadratini 2x2 scoperti ma che da qualche parte ci sono 2x2 quadratini scoperti , che ( dato che se fosse solo la scacchiera non potrebbe essere ricoperta tutta ) è accompagnato da almeno 4 altri quadratini mancanti , l unica e sola disposizione di 8 quadratini dove 4 di essi formano un quadrato 2x2 che si può ricoprire è 2 righe da 4 quadratini ( cioè due quadrati 2x2 con lato in comune ) , però ciò vuol dire che ci sono altri 23 quadrati 2x2 ( il resto della scacchiera insomma ricoperti , ma dato che i quadrati si possono ricoprire solo a " coppie " due stanghe con lato lungo attaccato ed essendo il numero di quadrati dispari ne rimarrà uno fuori . Probabilmente c è qualche falla , spero che così è piu comprensibile , l idea mi è venuta perchè se mentalmente ci provi ti rimangono fuori sempre un quadrato 2x2 e perchè con le colorazioni non mi sembrava che c erano sbocchi
Ultima modifica di burt il 22/09/2015, 15:42, modificato 2 volte in totale.
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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda Gerald Lambeau » 22/09/2015, 15:34

Non credo vada bene burt, chi ti dice che con un numero dispari di tasselli non puoi coprire un numero dispari di quadratini $2 \times 2$?
polarized, potresti provare a spiegare più nel dettaglio la prima osservazione? Il resto è ok.
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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda polarized » 22/09/2015, 15:47

Osservazione 1: Il numero di tasselli in verticale deve essere pari.
Dimostrazione: Do per assodato che in ogni riga ci sono un numero congruo a 2 modulo 4 di caselle coperte da tasselli in verticale. Provo ora a contare quanti tasselli in verticale cominciano per ogni riga ( oppure, conto il numero di caselle coperte da tasselli in verticale in ogni riga tali che la casella soprastante non sia coperta da un tassello in verticale, è equivalente). Per la prima riga ovviamente ne ho un numero pari (che è pure congruo a 2 modulo 4, ma chi se ne fotte). Supponiamo che fino all'n-esima riga ne siano cominciati ancora un numero pari per ogni riga precedente (leggesi: fino ad un certo punto sono "cominciati" a coppie) . All'n+1 esima riga avrò quindi un numero pari di caselle occupate da tasselli iniziati in righe precedente ( se fino alla riga prima sono iniziati a coppie saranno pure "finiti" a coppie, e la parità rimasta invariata) quindi anche quelli che iniziano in questa riga sono in numero pari in quanto la somma tra le caselle occupate già da tasselli iniziati "sopra" (pari) e quelli iniziati in questa deve restare pari (se così non fosse avrei un numero dispari di caselle occupate da tasselli in verticale, assurdo).
Dunque sono iniziati in tutto un numero pari di tasselli verticali, dunque i tasselli verticali sono in numero pari

Spero ora sia più chiaro :lol: , mi rendo conto non sia troppo lineare ma stavolta mi sono impegnato :D
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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda Gerald Lambeau » 22/09/2015, 15:50

Sì, dovrebbe andare. Più tardi posto la mia per il caso generale di (b) (che è un po' diversa, se non più incasinata, dalla tua), intanto provate a generalizzare la (a) e fate il caso con i pezzi a L.
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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda matematto » 22/09/2015, 16:23

Alternativa di $b$
Testo nascosto:
Immagine

Ogni tassello $4$x$1$ ricopre una e solo una delle caselle rosse, ma i tasselli devono essere $25$ e le caselle rosse sono $26$
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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda Gerald Lambeau » 22/09/2015, 17:38

Buona matematto.
Testo nascosto:
Vediamo il caso generale del punto (b): se $n$ è dispari banalmente non si può e se è multiplo di $4$ divido tutto in quadrati $4 \times 4$ facilmente tassellabili.

Se $n=4k+2$ per qualche $k$ intero numeriamo le righe e le colonne da $1$ a $4k+2$ e coloriamo nel seguente modo:
di bianco le caselle all'incrocio tra una colonna $\equiv 1 \pmod{4}$ e una riga $\equiv 1 \pmod{4}$, di bianco le caselle all'incrocio tra una colonna $\not\equiv 1 \pmod{4}$ e una riga $\not\equiv 1 \pmod{4}$ e di nero tutte le altre.

Contiamo il numero di bianche. Sono uguali al numero di $i$, $1 \le i \le 4k+2$, tali che $i \equiv 1 \pmod{4}$ al quadrato più il numero di $i$, $1 \le i \le 4k+2$, tali che $i \not\equiv 1 \pmod{4}$ al quadrato.
Da $1$ a $4k$ ci sono esattamente $k$ numeri $\equiv 1 \pmod{4}$, più dobbiamo contare $4k+1$, quindi i numeri $\equiv 1 \pmod{4}$ sono $k+1$. Banalmente, quelli $\not\equiv 1 \pmod{4}$ sono $4k+2-(k+1)=3k+1$.
In totale il numero di bianche è $B=(k+1)^2+(3k+1)^2=k^2+2k+1+9k^2+6k+1=10k^2+8k+2$.
Il numero di nere è, di conseguenza, $N=(4k+2)^2-B=16k^2+16k+4-(10k^2+8k+2)=6k^2+8k+2$.

Ora notiamo che, per come è stata colorata la griglia, in ogni riga e in ogni colonna ogni quattro caselle consecutive tre sono di un colore e una dell'altro.
Notiamo che la cosa è simmetrica in righe e colonne per come è stata definita la colorazione, è sufficiente ora mostrare che è vero per le righe.
Notiamo che, se in una riga la casella $(i, j)$ (dove $i$ è il numero della riga e $j$ il numero della colonna) ha un certo colore, nella riga sotto la casella nella stessa colonna $(i+1, j)$ ha o lo stesso colore o un colore diverso per ogni $j$, a seconda di $i$. In particolare, però, ogni riga è uguale o opposta alla prima, e, a meno di invertire i colori, ci basta controllare che il nostro fatto funzioni solo per la prima riga.
La riga è la $1$, quindi il numero di riga è $\equiv 1 \pmod{4}$, dunque una casella è bianca se è in una posizione (cioè colonna), contata da sinistra verso destra, $\equiv 1 \pmod{4}$, nera altrimenti. Notiamo quindi che, presi quattro numeri consecutivi, esattamente uno è $\equiv 1 \pmod{4}$, che equivale a dire che prese quattro caselle consecutive esattamente una è bianca, $q. e. d.$.

Dunque ogni pezzo ne occupa tre nere e una bianca o tre bianche e una nera (non importa in che ordine).
Siano $x=$ numero di pezzi che ne occupano tre nere e una bianca e $y=$ numero di pezzi che ne occupano tre bianche e una nera.
Abbiamo che il numero di caselle nere è $N=3x+y$ e il numero di caselle bianche è $B=3y+x$.
Sostituendo otteniamo $6k^2+8k+2=3x+y$ e $10k^2+8k+2=3y+x$.
Ricaviamoci la $y$ nella prima equazione e sostituiamola nella seconda:
$y=6k^2+8k+2-3x$.
$10k^2+8k+2=3y+x \Rightarrow 10k^2+8k+2=3(6k^2+8k+2-3x)+x \Rightarrow 10k^2+8k+2=18k^2+24k+6-9x+x \Rightarrow -8k^2-16k-4=-8x \Rightarrow 8x=8k^2+16k+4$, assurdo modulo $8$ (sia $x$ che $k$ devono essere interi), dunque non è mai possibile tassellare una griglia $n \times n$ con pezzi da quattro quadratini tutti dritti se $n=4k+2$ per qualche $k$ intero o se $n$ è dispari. È invece sempre possibile se $n$ è multiplo di $4$.
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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda Giovanni98 » 22/09/2015, 17:52

Il tassello a forma di $L$ è una cosa tipo (vedi sotto) ?

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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda Gerald Lambeau » 22/09/2015, 18:00

Sì.
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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda burt » 23/09/2015, 0:01

Gerald forse hai ragione , ma c è anche un altro errore , quindi è propio inutile.. Comunque l avevo scritta che era tutta sbagliata
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