[L04] Salta che ti passa

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

[L04] Salta che ti passa

Messaggioda Gerald Lambeau » 28/07/2017, 17:41

Trovare tutti gli interi positivi $n$ tali che la seguente equazione ammette almeno una soluzione $(x, y)$ di interi positivi:
$x^2+y^2=n(x+1)(y+1)$.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Gerald Lambeau
 
Messaggi: 920
Iscritto il: 07/01/2015, 18:18

Re: [L04] Salta che ti passa

Messaggioda [ProfMateMatto] » 28/07/2017, 17:55

Quanti quadrati! USA il T.D.T
[ProfMateMatto]
 
Messaggi: 14
Iscritto il: 21/07/2017, 18:02

Re: [L04] Salta che ti passa

Messaggioda Dudin » 29/07/2017, 11:32

Non ci sono soluzioni? Se è corretto metto la soluzione intera
Dudin
 
Messaggi: 116
Iscritto il: 15/02/2017, 14:13

Re: [L04] Salta che ti passa

Messaggioda Gerald Lambeau » 29/07/2017, 12:31

Giusto, vai pure con la soluzione.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Gerald Lambeau
 
Messaggi: 920
Iscritto il: 07/01/2015, 18:18

Re: [L04] Salta che ti passa

Messaggioda Dudin » 29/07/2017, 12:58

Osservando modulo due possiamo subito vedere che x e y devono avere necessariamente la stessa parità.

Dividiamo entrambi i membri per (x+1)(y+1)
[tex]\frac{x^2} {(x+1)(y+1)} + \frac{y^2}{(x+1)(y+1) }=n[/tex]
Che possiamo riscrivere come:
[tex]\frac{(x-1)(x+1) + (y-1)(y+1) +2}{(y+1)(x+1)} =n[/tex]
Quindi dividiamo il due casi: x, y pari e x, y dispari.
Inoltre per avere delle soluzioni quella frazione deve essere intera.

1) x, y pari:
Se x ed y sono pari allora il numeratore è sicuramente pari (basta guardare modulo 2), invece il denominatore è dispari. Quindi non ci sono soluzioni
L'unico caso possibile sarebbe con il denominatore dispari =1 ma ciò implicherebbe che x=y=0

2) x, y dispari:
Se x ed y sono dispari allora: sia al numeratore che al denominatore abbiamo due quantità pari solo che: il numeratore è divisibile solo per 2, il denominatore è divisibile almeno per 4 ( difatti è il prodotto di due quantità pari). Quindi la frazione non è intera e non ci sono soluzioni
Dudin
 
Messaggi: 116
Iscritto il: 15/02/2017, 14:13

Re: [L04] Salta che ti passa

Messaggioda Gerald Lambeau » 29/07/2017, 13:52

Buono il caso 2) ma non il caso 1): il fatto che il numeratore sia pari e il denominatore dispari non è mica un assurdo (anche con denominatore diverso da 1).
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Gerald Lambeau
 
Messaggi: 920
Iscritto il: 07/01/2015, 18:18

Re: [L04] Salta che ti passa

Messaggioda Dudin » 29/07/2017, 14:09

Ahh è vero cosa ho scritto xD
Dudin
 
Messaggi: 116
Iscritto il: 15/02/2017, 14:13

Re: [L04] Salta che ti passa

Messaggioda Dudin » 29/07/2017, 17:47

Risoluzione caso 1: x e y sono pari quindi mettiamo
x =2k, y=2h.
Svolgendo i calcoli otteniamo:
[tex]\frac{(2k+1)(2k-1)+(2h+1)(2h-1)+2} {(2k+1)(2h+1)}[/tex]
Quindi il numeratore deve essere divisibile per entrambi i fattori.
Fattore 2h+1:
Con pochi calcoli otteniamo
[tex]4k^2 \equiv - 1 (mod 2h+1)[/tex]
E per simmetria con il fattore 2k+1:
[tex]4h^2 \equiv - 1 (mod 2k+1)[/tex]
Ultima modifica di Dudin il 01/08/2017, 16:05, modificato 1 volta in totale.
Dudin
 
Messaggi: 116
Iscritto il: 15/02/2017, 14:13

Re: [L04] Salta che ti passa

Messaggioda Gerald Lambeau » 30/07/2017, 18:09

Dudin ha scritto:[tex]16k1^2 \equiv - 1 (mod 4h1+1)[/tex]
[tex]16h1^2 \equiv - 1 (mod 4k1+1)[/tex]
... Ma siamo in una situazione peggiore di quella di prima (cioè sia 4h1 che 4k1 devono essere entrambi multipli di 16 altrimenti le congruenze non possono essere vere)

E se $k_1=7, h_1=1$? Ok, una congruenza è vera ma l'altra no, ma quello che dici non è così intuitivo come lo fai sembrare... devi dimostrarlo!
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Gerald Lambeau
 
Messaggi: 920
Iscritto il: 07/01/2015, 18:18

Re: [L04] Salta che ti passa

Messaggioda Dudin » 02/08/2017, 8:13

Hint?
Dudin
 
Messaggi: 116
Iscritto il: 15/02/2017, 14:13

Prossimo

Torna a Teoria dei Numeri

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 0 ospiti