[L04/5] Sai usare la torre?

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

[L04/5] Sai usare la torre?

Messaggioda Gerald Lambeau » 10/05/2016, 12:29

Qualcuno lo conosce per forza, ma era simpatico:
$A$ e $B$ giocano su una scacchiera $n \times n$ al gioco seguente. Inizialmente l’intera scacchiera è bianca, fuorché per una casella d’angolo, che è nera; una torre viene posta su questa casella. I giocatori muovono a turno a partire da $A$, e in ogni turno muovono la torre orizzontalmente o verticalmente; immediatamente dopo la mossa tutte le caselle attraversate dalla torre, inclusa quella di arrivo, divengono nere. È proibito far passare o fermare la torre su una casella già nera; il primo giocatore che non può più muovere, perde. Determinare chi ha una strategia vincente.
Ultima modifica di Gerald Lambeau il 10/05/2016, 19:37, modificato 1 volta in totale.
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Re: [L04/5] Sai usare la torre?

Messaggioda Linda_ » 10/05/2016, 18:40

Bello! Non sapevo come altro scrivere la soluzione, quindi non è molto formale
Testo nascosto:
$A$ vince.
Partizioniamo la scacchiera in tasselli $n\times 1$. $A$ è il primo a muovere e può spostare la torre lungo tutta la lunghezza di un tassello. A questo punto tocca a $B$ che è costretto a "cambiare" tassello.
Quindi $A$ muove sempre lungo tutto un rettangolo $n\times 1$ forzando così $B$ a spostarsi cambiando tassello. Quando $B$ riesce a cambiare tassello significa che questo non è già stato percorso da $A$, per cui ad ogni mossa di $B$ segue una mossa di $A$ e a questo punto è inevitabile che vinca $A$.
EDIT: quando intendo "spostarsi lungo tutta la lunghezza di un tassello" intendo secondo le regole, lungo tutte le caselle bianche
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Re: [L04/5] Sai usare la torre?

Messaggioda Gerald Lambeau » 10/05/2016, 18:49

Ti sei scordata il caso $n=1$, ma vabbè, hai scritto una soluzione decisamente più elegante della mia :lol:
Per inciso, la mia suona più o meno così, spiegata al volo:
Testo nascosto:
stessa strategia per $A$, le colonne nere create da $B$ sono necessariamente agli estremi (altrimenti tagliano una riga nera) e quindi ad ogni mossa $A$ ricopre tutto quel che rimane di una riga. Ora, se vincesse $B$ si può dedurre (lo ometto) che $A$ ha fatto $n$ mosse finendo di coprire, con l'ultima mossa, tutta la scacchiera, assurdo! Il caso $n=1$ è a parte perché in questa soluzione si suppone che $B$ abbia fatto almeno una mossa, cioè l'ultima (questo lo uso nella deduzione che ho omesso), cosa che avviene se e solo se $n \ge 2$.
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Re: [L04/5] Sai usare la torre?

Messaggioda Linda_ » 10/05/2016, 19:30

Giusto, non mi ero proprio posta il problema di $n=1$ :roll:
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Re: [L04/5] Sai usare la torre?

Messaggioda Rho33 » 11/05/2016, 16:11

Wow, è identico (o quasi) a questo che ho risolto qui in fondo http://forum.olimato.org/stile-dimostrativo-combinatoria-e-probabilita-t2123.html .
Ma sei sicuro che il livello sia quello? Oppure ti sei basato sulla fonte? A me è sembrato carino ma abbastanza facile :?:
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Re: [L04/5] Sai usare la torre?

Messaggioda Gerald Lambeau » 11/05/2016, 16:22

Il livello è più sulla fonte, il LUNCH PROBLEM C9 del PreIMO 2015.
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