Quinto problema della gara nazionale individuale del 2007

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Quinto problema della gara nazionale individuale del 2007

Messaggioda DottorDoom » 06/05/2013, 21:42

Ciao ragazzi.. Non riesco a capire come risolvere questo problema; anche vedendo la soluzione... Data la successione a(1)=2 e a(n+1)=a(n)^2 -1, bisogna dimostrare che MCD(a(n);n)=1
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Re: Quinto problema della gara nazionale individuale del 200

Messaggioda Drago » 07/05/2013, 18:06

Allora, l'idea base è che se prendi un qualunque primo $p$, allora c'è al più un termine divisibile per $p$; infatti se guardi la successione modulo $p$, se c'è un termine divisibile per $p$, avrai $\dots0, -1, 1, 1, 1,\dots$
Ora, prendi un primo che divide $n$ e $a_n$ per assurdo; quindi tra i termini $a_1,\dots,a_{n-1}$ non ci sono $0,\pm1$ e per pigeonhole ci sono allora 2 termini che si ripetono e quindi la successione è periodica, ma ciò è impossibile perchè poi sono tutti 1...

E' scritta da cani, però l'idea fondamentale è appunto la periodicità...
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Re: Quinto problema della gara nazionale individuale del 200

Messaggioda DottorDoom » 07/05/2013, 22:16

Grazie mille :)
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