Quarte potenze

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Quarte potenze

Messaggioda Salvador » 16/02/2017, 15:28

Determinare tutte le terne $(x,y,z)$ di numeri reali tali che per ognuno di questi la sua potenza quarta sia uguale alla somma degli altri due ($x^4=y+z, y^4=x+z, z^4=x+y$).
Salvador
 
Messaggi: 266
Iscritto il: 26/11/2016, 11:55

Re: Quarte potenze

Messaggioda pipotoninoster » 06/03/2018, 14:47

Ci provo...
Testo nascosto:
Sottraggo la prima dalla seconda e ottengo [tex](x-y)[(x+y)(x^2+y^2)+1]=0[/tex]. Ma [tex]x+y=z^4 \ge 0[/tex] quindi per forza [tex]x=y[/tex]. Analogamente [tex]y=z[/tex]. Quindi [tex]x=y=z[/tex] cioè [tex]x^4=2x[/tex] ossia [tex]x=0[/tex] oppure [tex]x=2^{1/3}[/tex]. Le terne richieste sono allora [tex](0,0,0)[/tex]e [tex](2^{1/3},2^{1/3},2^{1/3})[/tex]
pipotoninoster
 
Messaggi: 19
Iscritto il: 23/02/2018, 12:08

Re: Quarte potenze

Messaggioda TheRoS » 07/04/2018, 18:02

In alternativa si poteva fare così:
Testo nascosto:
Supponiamo wlog $x\ge y\ge z$, allora $x^4\ge y^4\ge z^4$. In altre parole $y+z\ge x+z\ge x+y$, da cui anche $x\le y\le z$ e quindi $x=y=z$.
TheRoS
 
Messaggi: 1
Iscritto il: 07/04/2018, 16:56


Torna a Teoria dei Numeri

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 0 ospiti