Quante domande?

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

Quante domande?

Messaggioda Giovanni98 » 11/05/2017, 11:45

Leo e Cristiano fanno il seguente gioco : Cristiano scrive un polinomio a coefficienti interi non negativi alla lavagna e non lo mostra a Leo, che lo deve indovinare. Leo però può chiedere a Cristiano il valore di $P(x)$ con $x$ intero. Quante domande al minimo deve fare Leo a Cristiano per essere certo di poter dedurre il polinomio scritto da Cristiano?
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Re: Quante domande?

Messaggioda CosecantofPi » 12/05/2017, 19:49

Non so come prendere questo problema.. La risposta piu' ovvia e' $n+1$ dove $n$ e' il grado del polinomio.. Ce' probabilmente un inganno, ma sono sicuro che nel problema manca un dato, ovvero il grado di $P(x)$, senno' esso potrebbe essere indefinitamente grande.
PS: La mia risposta utilizza il principio di identita' dei polinomi, che asserisce che se due polinomi di $n-esimo$ grado coincidono in $n+1$ punti, sono identici.
Facendo esattamente $n$ domande, invece si potrebbe provare un interpolazione, ma i possibili polinomi non sono identici.
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Re: Quante domande?

Messaggioda Veritasium » 12/05/2017, 19:56

Non mancano dati.

Risultato

Testo nascosto:
$2$


Hintone

Testo nascosto:
Siano $k, C$ interi positivi. Sia $W$ l'insieme di tutti i polinomi di grado al più $k$ a coefficienti interi non negativi e minori uguali di $C.$ Allora esiste una costante $S(k,C)$ tale che, per ogni intero positivo $a > S,$ vale $p(a) \neq q(a)$ per ogni $p \neq q$ polinomi in $W.$


Prima o poi posterò la soluzione completa.
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Re: Quante domande?

Messaggioda mr96 » 12/05/2017, 20:05

Veritasium ha scritto:Non mancano dati.

Risultato

Testo nascosto:
$2$


Hintone

Testo nascosto:
Siano $k, C$ interi positivi. Sia $W$ l'insieme di tutti i polinomi di grado al più $k$ a coefficienti interi non negativi e minori uguali di $C.$ Allora esiste una costante $S(k,C)$ tale che, per ogni intero positivo $a > S,$ vale $p(a) \neq q(a)$ per ogni $p \neq q$ polinomi in $W.$


Prima o poi posterò la soluzione completa.


Anche
Testo nascosto:
Cosa succede se scrivo [tex]p(p(1))[/tex] in base [tex]p(1)[/tex]?
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Re: Quante domande?

Messaggioda Lasker » 12/05/2017, 20:09

I vostri hint sono troppo violenti :roll: secondo me bastava segnalare
Giovanni98 ha scritto:coefficienti interi non negativi

che è il dato che CosecantofPi non sta usando
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
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Re: Quante domande?

Messaggioda Veritasium » 12/05/2017, 20:14

Lasker ha scritto:I vostri hint sono troppo violenti :roll:


Effettivamente è vero, ma il fatto in sé è figo ed è comunque ciò a cui sono arrivato per dimostrare il risultato. Poi è divertente fare effettivamente il gioco con amici usando
Testo nascosto:
$2$ e poi $p(2) + 1$.
Per grado $≤ 6$ è effettivamente fattibile con una calcolatrice e stupisce in quanto chiunque con un minimo di esperienza è portato a claimare [tex]n+1[/tex] domande con $n$ il grado.
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Re: Quante domande?

Messaggioda CosecantofPi » 13/05/2017, 17:36

Effettivamente ci ho messo un po a comprendere gli hint. Tuttavia, mi piacerebbe vedere con che passaggi siete arrivati al 2. Io ho fatto un po di tentativi per arrivare alla risposta, vorrei vedere i vostri procedimenti
Scusate il fallimento :D
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Re: Quante domande?

Messaggioda mr96 » 13/05/2017, 22:12

CosecantofPi ha scritto:Effettivamente ci ho messo un po a comprendere gli hint. Tuttavia, mi piacerebbe vedere con che passaggi siete arrivati al 2. Io ho fatto un po di tentativi per arrivare alla risposta, vorrei vedere i vostri procedimenti
Scusate il fallimento :D

Testo nascosto:
Se scrivo $p(p(1))$ in base $p(1)$ ho i coefficienti del polinomio, quindi la prima domanda sarà $p(1)$ e la seconda $p(p(1))$. Perché questo funziona?
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Re: Quante domande?

Messaggioda Gerald Lambeau » 15/05/2017, 14:47

Non funziona. Cioè, funziona, ma devi prestare attenzione a troppe cose. Se il polinomio è della forma $cx^n$ allora $p(1)=c$ e $p(p(1))=c^{n+1}$, che in base $p(1)=c$ ti fa credere che il polinomio sia $x^{n+1}$. Ovvio, sai che ciò è impossibile perché altrimenti $p(1)=1$, ma se $c=1$? Sì, ok, in quel caso invece di $p(1)=1$ proveresti un altro numero come secondo tentativo, ma diventa poco pratica come soluzione. Non sarebbe più pulito guardare $p(p(1)+1)$ in base $p(1)+1$? L'unico caso dove questa cosa non può essere fatta, dato che $p(1) \ge 0$, è quando $p(1)+1=1 \Rightarrow p(1)=0$, ma questo caso non credo sia un problema.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
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