[L01/02] Quadrattangolo

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

[L01/02] Quadrattangolo

Messaggioda Gizeta » 06/08/2016, 12:34

Il rettangolo in figura è formato da tre quadrati; mostrare che vale la relazione

[tex]\alpha=\beta+\gamma[/tex]
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Re: [L01/02] Quadrattangolo

Messaggioda Gerald Lambeau » 06/08/2016, 15:19

Dopo pochi minuti spesi a provare la via sintetica ho abbandonato per prendere la strada dei conti.
Testo nascosto:
Da $0<\gamma<\beta<\alpha=45^\circ$ otteniamo che $0<\beta+\gamma<90^\circ$, quindi se determiniamo il seno o il coseno di $\beta+\gamma$, sapendo che in quell'intervallo esiste un solo angolo per ogni possibile seno o coseno, abbiamo determinato anche $\beta+\gamma$. In particolare vogliamo dimostrare che $\displaystyle \sin(\beta+\gamma)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin{45^\circ} \Rightarrow \beta+\gamma=45^\circ=\alpha$.
Banalmente $\displaystyle \sin{\beta}=\frac{\sqrt{5}}{5}, \cos{\beta}=\frac{2\sqrt{5}}{5}, \sin{\gamma}=\frac{\sqrt{10}}{10}, \cos{\gamma}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$ e otteniamo
$\displaystyle \sin(\beta+\gamma)=\sin{\beta}\cos{\gamma}+\cos{\beta}\sin{\gamma}=\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot\frac{3\sqrt{10}}{10}+\frac{2\sqrt{5}}{5}\cdot\frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{50}}{50}\cdot 5=\frac{\sqrt{50}}{10}=\frac{5\sqrt{2}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, come voluto.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: [L01/02] Quadrattangolo

Messaggioda Gizeta » 06/08/2016, 15:35

Mi fido dei conti (magari qualcuno dei meno esperti potrebbe verificare per esercizio!).

Hint criptico per la soluzione sintetica:

Testo nascosto:
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Re: [L01/02] Quadrattangolo

Messaggioda Gizeta » 08/08/2016, 8:11

Va beh, ho capito: non vi piace :?

Testo nascosto:
Immagine
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Re: [L01/02] Quadrattangolo

Messaggioda Rho33 » 08/08/2016, 22:47

Io ieri ne avevo trovata una carina (ma overkill e che richiede una costruzione in più). Per chi vuole farsi del male:

Testo nascosto:
Sfruttare il fatto che baricentro e punto di Lemoine sono coniugati isogonali! :lol:
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Re: [L01/02] Quadrattangolo

Messaggioda Salvador » 18/02/2017, 16:19

Ho fatto simile a Gerald Lambeau, ma ho usato le tangenti: $\tan \beta = 1/2$, $\tan \gamma = 1/3$ e $\tan {\beta+\gamma} = \dfrac{1/2+1/3}{1-1/2*1/3} = \dfrac{5/6}{5/6} = 1=\tan \alpha$, da cui $\alpha=\beta+\gamma$.
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Re: [L01/02] Quadrattangolo

Messaggioda Dudin » 20/02/2017, 8:00

Ho trovato una soluzione solo che non so come caricare la foto della figura con gli angoli e i vertici che ho segnato e senza di essa e impossibile capirla
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Re: [L01/02] Quadrattangolo

Messaggioda Gizeta » 20/02/2017, 8:35

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Re: [L01/02] Quadrattangolo

Messaggioda G64 » 09/03/2017, 21:33

Dimostri che due triangoli (i due ottusangoli che hanno un angolo $\gamma$ e uno $\beta$) sono simili perché hanno un angolo compreso e due lati proporzionali tra loro, quindi c'è un angolo congruente tra i due ($\gamma$), che si infila in un angolo, poi alterni interni e infili pure $\beta$ nell'angolo per dimostrare che $\alpha=\beta+\gamma$
(ma quanto son stato preciso? :lol: )
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Re: [L01/02] Quadrattangolo

Messaggioda Dudin » 15/03/2017, 14:30

Dimostrazione ( seguendo l'hint di Gizeta )

Il triangolo ABC è isoscele perchè il lato AC= AB ( perchè i due lati sono diagonali di due rettangoli congruenti).
Ne segue che l'angolo ACB = ABC.
L'angolo ACB =DCB (quindi a gamma) + l'angolo in ACD.
Inoltre il triangolo ACD = EFB perchè i due triangoli sono entrambi rettangoli e hanno i due cateti uguali.
quindi i due triangoli sono congruenti e in particolare l'angolo DCA = beta
quindi l'angolo ACB = gamma + beta.

L'angolo ABC = CBE + DBE + ABD.
l'angolo in CBE = beta - gamma ( si può vedere facilmente utilizzando il teorema di talete oppure che la somma degli angoli interni del triangolo CEB = 180)
l'angolo in DBE = alfa - beta ( basta utilizzare lo stesso metodo usato per CBE)
Infine l'angolo ABD = DBE perchè i triangoli BDE e BDA sono congruenti ( per il primo criterio hanno il lato DB in comune il lato DE= DA e l'angolo in BDA = BDE)

Quindi l'angolo ABC = beta - gamma + 2(alfa-beta)
Quindi ritorniamo all'eguaglianza iniziale ( l'angolo ACB = ABC).
Ne segue che:
gamma + beta = beta - gamma + 2(alfa-beta)
E Quindi
2gamma = 2alfa - 2beta
Infine dividiamo entrambi i membri per due ed otteniamo che:
gamma = alfa - beta ( oppure in altre parole gamma + beta = alfa)
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