[L03] Quadrati perfetti!

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

[L03] Quadrati perfetti!

Messaggioda SaraAA » 13/09/2016, 18:24

Ho trovato questo problema in una dispensa di base di teoria dei numeri e non sono riuscita a risolverlo... Qualcuno potrebbe darmi una mano?
Il problema è questo:

$x$, $y$, $z$ sono tre interi positivi tali che $(xy + 1)(yz + 1)(zx + 1)$ è un quadrato perfetto. Dimostrare che anche $xy + 1$, $yz + 1$, $zx + 1$ sono quadrati perfetti.

PS: Non so bene come funzionano i livelli, ma guardando in giro mi è sembrato che L03 vada bene, se non altro per la provenienza. :)
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per essere stata stuprata da troppi problemi.
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Re: [L03] Quadrati perfetti!

Messaggioda Veritasium » 13/09/2016, 18:59

[L03]??
Si vede che sei alle prime armi... Questo è massimo, ma proprio massimo [L02]! ;)
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Re: [L03] Quadrati perfetti!

Messaggioda Linda_ » 15/09/2016, 16:43

Veritasium ha scritto:[L03]??
Si vede che sei alle prime armi... Questo è massimo, ma proprio massimo [L02]! ;)

Perché dici?
Avevo visto questo problema su aops tipo poco prima di Cesenatico (è un PEN), non ero riuscita a farlo e la soluzione non mi era sembrata banale :oops:

EDIT: no ok, sono stupida io :roll:
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Re: [L03] Quadrati perfetti!

Messaggioda Gizeta » 15/09/2016, 18:48

Testo nascosto:
Sia [tex]p[/tex] un primo tale che [tex]p\mid xy+1[/tex] e [tex]p \mid yz+1[/tex], allora [tex]p\mid (xy+1)-(yz+1)=y(x-z) \Rightarrow p \mid x-z[/tex]
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Re: [L03] Quadrati perfetti!

Messaggioda Veritasium » 15/09/2016, 19:36

Gizeta ha scritto:
Testo nascosto:
Sia [tex]p[/tex] un primo tale che [tex]p\mid xy+1[/tex] e [tex]p \mid yz+1[/tex], allora [tex]p\mid (xy+1)-(yz+1)=y(x-z) \Rightarrow p \mid x-z[/tex]

Aspetta, se ho capito dove vuoi arrivare (insomma, scritta così richiede un po' di fantasia per concludere) ti serve definire tutti e [tex]3[/tex] i primi, cioè [tex]p_1 \mid xy + 1, yz + 1[/tex] e cicliche. Però se ad esempio [tex]2[/tex] dei fattori sono coprimi e hanno un primo ciascuno in comune con il terzo fattore, non vedo come si possa concludere.
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Re: [L03] Quadrati perfetti!

Messaggioda Gizeta » 15/09/2016, 19:52

Boh, più che altro ad una prima occhiata mi sembrava si potesse tirar fuori qualcosa di buono da quel fatto (soprattutto alla luce del [L02] chiamato), ma mettendomi poi carta e penna alla mano mi sono reso conto che non funziona nemmeno nel caso in cui i tre fattori abbiano un primo in comune a coppie [almeno, non come l'ho pensata io, visto che sfruttando la simmetria del testo non si riesce comunque a far risultare le tre differenze tutte positive :roll:]
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Re: [L03] Quadrati perfetti!

Messaggioda Fenu » 19/11/2017, 21:46

Scusate se tiro sù questo esercizio. Sono stato colpito dalla chiamata [L02].
Nonostante la maggior parte di questi problemi possano essere attaccati lavorando sul gcd, sulle valutazioni p-adiche o eventuali fattorizzazioni carine, questo problema non sembra avere una soluzione banale immediata, o perlomeno non una soluzione [L03] o tantomeno [L02].
Azzarderei ad un [L04] se non ad un [L05].
Abbozzo una soluzione di cui sono al corrente, non mia dato che non sono a questi livelli, per chiunque volesse provarci:
Supponiamo che esista una tripletta di numeri $(x, y, z)$ tale che quella roba sia un quadrato, ma almeno uno di quei fattori non lo sia. Allora possiamo trovare un altra soluzione $(x, y, z')$ con quelle caratteristiche ponendo
$$z'=x+y+z+2xyz-2\sqrt{(xy+1)(xz+1)(yz+1)}$$
Supponendo in oltre $x$, $y$, $z$ siano in ordine crescente, si riesce a dimostrare che $0<z'<z$ e da qui e tutta discesa infinita.
Scusate se non sono stato chiaro.
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Re: [L03] Quadrati perfetti!

Messaggioda riccardo2 » 20/11/2017, 17:53

ragazzi il problema non mi metto neanche a farlo , ma mi fa mlto piacere che si usi ancora il "sistema " che avevo proposto io qualche hanno fa ! ps . io sono burt !
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Re: [L03] Quadrati perfetti!

Messaggioda Lasker » 20/11/2017, 21:22

Il fatto è che l'utente che l'ha postato è un palese troll, mentre veritasium stava scherzando. SaraAA è una presa in giro a Saro00, che è invece un utente molto forte del forum (e da lì la battuta sul sottostimare il livello dei problemi; come ha fatto notare linda questo è un problema molto conosciuto e non perché è stupido). Immagino la battuta faccia meno ridere ora che è stata spiegata... pazienza
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
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