Quadrati nei quadrati

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

Quadrati nei quadrati

Messaggioda Salvador » 12/04/2017, 19:39

Qual è il minimo intero $N$ tale che per ogni intero $n>N$ un quadrato può essere partizionato in $n$ quadrati disgiunti (non necessariamente congruenti)?
Testo nascosto:
Dovrebbe essere 5
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Re: Quadrati nei quadrati

Messaggioda parisgermain98 » 16/04/2017, 9:05

Che per [tex]n\ge6[/tex] sia possibile è facile e si dimostra per induzione, ma proprio non riesco a capire come si dimostri l'impossibilità nei casi bassi...
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Re: Quadrati nei quadrati

Messaggioda Vinciii » 16/04/2017, 10:52

Come dimostri per induzione che va bene per $n \ge 6$?
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Re: Quadrati nei quadrati

Messaggioda Lasker » 16/04/2017, 12:51

@Vinciii
Testo nascosto:
Trova degli esempi per $4,6,7,8$ (sono piuttosto facili da vedere anche a mente, ma per spiegarli mi servirebbe fare un disegno :lol: ) e deduci che tutti i casi maggiori di $5$ si fanno (ad esempio se prendi l'esempio con $6$ e uno a caso dei quadrati lo dividi in $4$ parti viene un esempio per $9$)

Il caso da scartare è solo $n=5$, che non è troppo difficile e carino, quindi non lo brucio ancora ;)
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

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Re: Quadrati nei quadrati

Messaggioda CosecantofPi » 16/04/2017, 18:35

Lasker ha scritto:@Vinciii
Testo nascosto:
Trova degli esempi per $4,6,7,8$ (sono piuttosto facili da vedere anche a mente, ma per spiegarli mi servirebbe fare un disegno :lol: ) e deduci che tutti i casi maggiori di $5$ si fanno (ad esempio se prendi l'esempio con $6$ e uno a caso dei quadrati lo dividi in $4$ parti viene un esempio per $9$)

Il caso da scartare è solo $n=5$, che non è troppo difficile e carino, quindi non lo brucio ancora ;)

Supponiamo che per $n=5$ la struttura del quadrato sia simile a quella degli altri quadrati dispari come per esempio il $7$. Questa supposizione, giusta e motivata, poiche' discendente da casi gia verificati e banali, ci dira' che $4$ quadrati saranno adiacenti, e "tangenti" se cosi si puo' dire, su due lati. Allora e' ovvio che se questa configurazione esiste, esistera' pure una configurazione in cui eventuali $4$ quadrati son fusi fino a formarne uno solo. Avremmo in questo modo un quadrato diviso in $2$ quadrati, Assurdo: Il minimo numero di quadrati che possiamo ottenere a seguito della partizione di un area quadrata e' $4$
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