Punti nel piano.

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Punti nel piano.

Messaggioda Giovanni98 » 02/09/2017, 16:28

Sia $n$ un intero positivo. Abbiamo $2n$ punti nel piano, $n$ di colore Rosso e $n$ di colore Blu. Dimostrare che è possibile tracciare $n$ segmenti tali che
i) gli estremi di tali segmenti sono punti di colore diverso
ii) nessuna coppia di segmenti costruiti si intersecano fra di loro.
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Re: Punti nel piano.

Messaggioda pipotoninoster » 23/02/2018, 16:58

Testo nascosto:
Lemma: Nel quadrilatero[tex]ABCD[/tex] si ha [tex]AC+BD>AB+CD[/tex]. Infatti, sia [tex]P[/tex] l'intersezione fra le diagonali. La disuguaglianza triangolare su [tex]APB[/tex] porta a [tex]AP+BP>AB[/tex], mentre su [tex]CPD[/tex] porta a [tex]CP+DP>CD[/tex]. Sommando si ha il lemma.
Ora, supponiamo per assurdo che ogni configurazione di collegamenti presenti almeno un'intersezione. Tra tutte queste configurazioni scegliamo quella che ha lunghezza complessiva dei segmenti minima. in questa configurazione esiste una quaterna di punti [tex]R_1[/tex],[tex]R_2[/tex] rossi e [tex]B_1[/tex], [tex]B_2[/tex] blu con [tex]R_1B_2[/tex] e [tex]R_2B_1[/tex] tracciati e intersecantesi. Si osserva che se sostituisco i due segmenti tracciati con [tex]R_1B_1[/tex] e [tex]R_2B_2[/tex] ottengo per il lemma una lunghezza minore complessiva. Dunque la configurazione scelta non è quella con lunghezza complessiva minore, assurdo.
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Re: Punti nel piano.

Messaggioda Pollo3 » 28/02/2018, 18:36

la tesi mi sembra sbagliata a me no che non si specifichi che non ci sono 3 o piu punti che stanno sulla stessa retta ( si considerino i punti nell ordine r1 , r2,b1,b2 tutti appartenenti a una stessa retta è impossibile la richiesta no ? ... se invece intendevate che vanno considerati i due punti i e ii separati per il punto i ho una dimostrazione mentre per il punto ii ( che poi si riduce a consideriamo 2n punti sul piano di colore blu , dimostrare che è sempre possibile tracciare n segmenti tali che i loro estremi siano punti blu e che nessuna coppia di segmenti costruiti si intersecano tra loro ) non c è l ho ancora ( alternativa a quella di pipotoninoster che se generalizzata senza considerare il colore dei punti credo sia corretta )
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Re: Punti nel piano.

Messaggioda pipotoninoster » 28/02/2018, 21:20

Hai ragione, infatti dev'esserci l'ipotesi "a tre a tre non allineati"
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