Punti nel piano

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Punti nel piano

Messaggioda Gizeta » 07/08/2016, 8:36

Iniziando con un punto [tex]S=(a,b)[/tex] del piano, con [tex]0<b<a[/tex], generiamo una sequenza di punti [tex](x_n,y_n)[/tex] del piano definita da

[tex]x_0=a[/tex], [tex]y_0=b[/tex]

[tex]\displaystyle x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}[/tex]

[tex]\displaystyle y_{n+1}=\frac{2x_ny_n}{x_n+y_n}[/tex]

Determinare il punto a cui tende la sequenza al limite.

Testo nascosto:
Viene dall'Engel, ma posto ugualmente perché a mio avviso la sua soluzione è (volutamente) spaventosamente incompleta e temo possa traviare le giovani menti :(
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Re: Punti nel piano

Messaggioda Gizeta » 11/08/2016, 10:15

Nessuno?
Suggerisco di cominciare mostrando che

Testo nascosto:
le successioni [tex]\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}[/tex] e [tex]\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}[/tex] sono monotone e ogni termine di una è maggiorato da ogni termine dell'altra (a voi stabilire i ruoli).
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Re: Punti nel piano

Messaggioda Rho33 » 11/08/2016, 16:42

Dò pure io due hint quasi immediati (mi scoccia scrivere la soluzione :lol: ), di cui uno segue l'hint di Gizeta:

Hint 1:

Testo nascosto:
C'è un invariante immediato che potrebbe tornare utile


Hint 2:

Testo nascosto:
Non so voi ma $x_n, y_n$ mi ricordano due medie molto famose, no?
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Re: Punti nel piano

Messaggioda polarized » 11/08/2016, 20:42

La scrivo io allora se nessuno si propone :lol:

La prima cosa che si vede è che $$x_n\ge y_n$$ Per via di AM-HM sui termini $x_{n-1}$ e $y_{n-1}$
Poi ci si accorge che $x_ny_n$ è costante e in particolare è uguale a $a\cdot b$.

Ora supponiamo che all'$n$-simo passo si abbia $$ x_n-y_n=k $$
Ciò significa che $$ x_{n+1}=x_n-\frac k 2 < x_n$$
$$ y_{n+1}=y_n\left (\displaystyle 1+\frac{k}{2y_n+k} \right)>y_n $$
Quindi $x_n$ è decrescente e $y_n$ crescente (come era prevedibile visto che continuiamo a fare la media di medie).
Per via della disuguaglianza iniziale le due successioni devono tendere asintoticamente in maniera tale che $$\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=\lim_{n\rightarrow \infty}y_n=ab$$
"In geometria tutto con Pitagora, in algebra tutto con Tartaglia"
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Re: Punti nel piano

Messaggioda Gizeta » 12/08/2016, 7:26

Ok!

Io, per completezza, avrei aggiunto alla tua che

[tex]\displaystyle y_{n}=2\frac{y_n}{2}<\frac{x_n+y_n}{2}=x_{n+1}<\frac{2x_n}{2}=x_n[/tex]

ora dato che [tex]\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}[/tex] crescente e [tex]y_{n+1}<x_{n+1}[/tex] si ha

[tex]y_n<y_{n+1}<x_{n+1}<x_n[/tex]

Per induzione, dunque, in generale per due indici naturali [tex]i,j[/tex] qualunque si ha

[tex]y_{i}<x_{j}[/tex]

Questo implica che le due successioni sono convergenti.

Vale

[tex]\displaystyle 0 < x_{n+1}-y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}-\frac{2x_ny_n}{x_n+y_n}=\frac{(x_n-y_n)^2}{2(x_n+y_n)}<\frac{x_n-y_n}{2}<...<\frac{x_0-y_0}{2^n}[/tex]

[La seconda diseguaglianza è vera perché [tex]\displaystyle \frac{x_n-y_n}{x_n+y_n}=1-\frac{2y_n}{x_n+y_n}<1[/tex]]

da cui per il teorema del confronto [tex]\lim (x_n-y_n)=0[/tex]
Poiché le due successioni sono convergenti, il limite delle differenza è uguale alla differenza dei limiti, ne segue [tex]\lim{x_n}=\lim{y_n}=L \in \mathbb{R}[/tex].

Infine

[tex]\displaystyle ab=\lim{ab}=\lim{(x_ny_n)}=\lim{x_n}\lim{y_n}=L^2 \rightarrow \boxed{L=\sqrt{ab}}[/tex]

[Qui abbiamo nuovamente sfruttato la convergenza delle due successioni per passare dal limite del prodotto al prodotto dei limiti].
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