Punti birichini (facile)

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Punti birichini (facile)

Messaggioda Rho33 » 25/03/2016, 14:44

Dati $2n+2$ punti nel piano, a tre a tre non allineati, dimostrare che $2$ di essi determinano una retta che separa $n$ punti dagli altri $n$ .
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Re: Punti birichini (facile)

Messaggioda carlotheboss » 25/03/2016, 16:54

Ho una soluzione molto brutta e sicuro ci sarà qualcosa di più semplice lol
Testo nascosto:
Prendo un sistema di assi cartesiani $Oxy$ in modo tale che l'origine $O(0, 0)$ coincida con uno dei punti e che non vi siano punti con la $y$ negativa (posso farlo, basta scegliere il punto più in basso come origine [se ce ne sono più di uno alla stessa altezza ne scelgo uno a caso] ). Ora ogni punto $P_i$ diverso dall'origine, quando collegato ad essa, forma un angolo $\alpha_i$ con l'asse $x$ (senso antiorario chiaramente). Ora "ordino" i $2n+1$ punti (non considero origine) in ordine crescente per il loro angolo.
Ora tracciando la retta $OP_0$ (primo punto della lista, con angolo minore) i rimanenti $2n$ punti staranno tutti da una parte ("sopra" la retta), dato che non posso avere tre punti allineati. A questo punto se traccio la retta $OP_1$ avrò che $P_0$ starà sotto di essa, mentre gli altri $2n-1$ punti staranno "sopra" di essa. In generale quando traccio la retta $OP_i$ ho un punto "sopra" in meno e uno "sotto" in più rispetto alla retta $OP_{i-1}$ (dato che i punti sono ordinati per angolo) e si nota che precisamente la retta $OP_i$ ha $2n-i$ punti "sopra" e $i$ punti "sotto". Dunque basta prendere la retta $OP_n$ e ho una retta che separa $n$ punti dagli altri $n$.
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Re: Punti birichini (facile)

Messaggioda Rho33 » 25/03/2016, 18:06

Questa è identica alla mia ( :lol: ), soltanto che io fisso l'origine nel punto più a sinistra di tutti ( se ce ne sono due, scelgo uno dei due), buona :D
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Re: Punti birichini (facile)

Messaggioda cip999 » 25/03/2016, 18:36

Ora fate lo stesso problema, ma uno dei due punti è fisso! (Cioè: dati $2n + 2$ punti nel piano a tre a tre non allineati, uno dei quali si chiama $A$, dimostrare che esiste una retta passante per $A$ e per uno degli altri $2n + 1$ punti che divide i restanti in due gruppi da $n$)
Non so con quali armi si combatterà la Terza Guerra Mondiale, ma la Quarta sì: con bastoni e pietre.
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Re: Punti birichini (facile)

Messaggioda cip999 » 25/03/2016, 18:39

Doppio
Ultima modifica di cip999 il 25/03/2016, 18:47, modificato 1 volta in totale.
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Re: Punti birichini (facile)

Messaggioda cip999 » 25/03/2016, 18:46

Triplo ( :lol: :lol: :lol: )
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