Punti a caso

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

Punti a caso

Messaggioda Vinciii » 01/07/2017, 10:26

Dati $2n$ punti di un piano, dimostrare che esiste un cerchio che ne contiene esattamente $n$.
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Re: Punti a caso

Messaggioda Vinciii » 03/07/2017, 14:13

Dai, dai
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Re: Punti a caso

Messaggioda Dudin » 03/07/2017, 17:41

Mettendo una circonferenza e mettendo n punti dentro di essa ed n fuori al variare del raggio e della posizione dei punti e del centro possiamo ottenere tutte le infinite combinazioni
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Re: Punti a caso

Messaggioda Vinciii » 03/07/2017, 19:21

Non mi sembra molto rigorosa come dimostrazione
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Re: Punti a caso

Messaggioda Lasker » 28/07/2017, 19:01

UP! Dai questo è carino!
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

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Re: Punti a caso

Messaggioda [ProfMateMatto] » 28/07/2017, 19:28

Allora ve lo spiego io: dato raggio infinito ci sono infiniti e dico infiniti punti nel cerchio quindi anche quelli nostri
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Re: Punti a caso

Messaggioda Vinciii » 28/07/2017, 22:04

Lasker ha scritto:UP! Dai questo è carino!
Ho provato a farlo per un pò senza risultati, qualche hint??? :mrgreen:
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Re: Punti a caso

Messaggioda Lasker » 28/07/2017, 22:52

Stavolta non hinto se non mi fai vedere un po' di tuoi progressi sul problema (sono troppo vecchio per portare via questi esercizi :mrgreen: ), come lo hai approcciato? C'è un modo assai naturale di partire che funziona (non somiglia a ciò che ha cercato di fare Dudin ma più ad una "costruzione" del cerchio desiderato).
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Re: Punti a caso

Messaggioda Vinciii » 29/07/2017, 8:09

Ci ho pensato un bel pò prima di metterlo sul forum, la cosa che stava funzionando di più (ma che non riuscii a far funzionare lo stesso) fu prendere un punto a caso del piano e tracciare le sue distanze da tutti i punti $d_1\le d_2\le \ldots \le d_{2n-1} \le d_{2n}$ e poi provare alcune costruzioni nel caso in cui $d_n=d_{n+1}$ tenendo anche presente che il punto sta sull'asse dei due punti da cui dista $d_n$, e poi provai a fare la stessa cosa partendo da uno dei $2n$ punti, ma non sono riuscito a trovare una costruzione utile.
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Re: Punti a caso

Messaggioda Dudin » 29/07/2017, 8:59

Ok modifica alla soluzione vecchia spoiler per non rovinarela.
Testo nascosto:
1)presi in qualunque modo 2n punti sul piano possiamo aggiungere un altro punto C (centro della nostra circonferenza) in modo tale che tutti i 2n punti abbiano distanza d diversa da esso.

2)quindi siano d(i) le distanze ordinate in ordine crescente dei 2n punti da C. Avremo che d(1)<2(2)<d(3)... <d(2n).
Semplicemente prendiamo come centro C e come raggio d(n). In questo modo avremo n punti dentro (che hanno distanza minore o uguale di d(n) * ed n punti fuori (che hanno distanza maggiore da d(n))

Dimostrazione:
(
Testo nascosto:
perché è sempre possibile prendere un punto C con distanze diverse da tutti i 2n?
Semplicemente ricordiamo che due punti P1, P2 hanno la stessa distanza da C se é solo se C giace sull'asse di P1-P2. Quindi per 2n punti avremo n(2n-1) rette su cui C non può stare. Ogni retta ha il suo coefficiente angolare... Ma le rette sono un insieme finito e i coefficienti angolari un insieme infinito. Quindi ci saranno sempre infinite rette con coefficienti angolari diversi su cui il punto C può stare
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