Progressione geometrica

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Progressione geometrica

Messaggioda Lasker » 14/04/2018, 21:07

Dato $q$ un numero reale, sappiamo che esistono tre interi positivi distinti $a,b,c$ tali che $q+a, q+b, q+c$ sono in progressione geometrica. Dimostrare che $q$ è razionale.
Ultima modifica di Lasker il 14/04/2018, 21:33, modificato 1 volta in totale.
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

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Re: Progressione geometrica

Messaggioda 0004POWER » 14/04/2018, 21:23

Aspe... progressione aritmetica o geometrica
(Penso geometrica perchè non credo sia vera altrimenti)
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Re: Progressione geometrica

Messaggioda Lasker » 14/04/2018, 21:33

si stavo dormendo... grazie
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Re: Progressione geometrica

Messaggioda pipotoninoster » 15/04/2018, 9:37

Testo nascosto:
I tre numeri sono i progressione geometrica sse [tex]\frac{q+c}{q+b}=\frac{q+b}{q+a}[/tex], cioè [tex](a+c-2b)q=b^2-ac[/tex]. Se fosse [tex]a+c-2b=0[/tex] dovrebbe essere anche [tex]b^2=ac[/tex], cioè (con facili passaggi) [tex]a=b=c[/tex], assurdo. Allora posso dividere e [tex]q=\frac{b^2-ac}{a+c-2b} \in \mathbb{Q}[/tex]
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Re: Progressione geometrica

Messaggioda Lasker » 15/04/2018, 12:58

Ok ovviamente, magari potevi spendere due parole sul caso $a=b=c$ visto che comunque la dimostrazione è molto corta :mrgreen:
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Re: Progressione geometrica

Messaggioda pipotoninoster » 15/04/2018, 22:09

Ok.
Testo nascosto:
Se [tex]b^2=ac[/tex] e [tex]b=\frac{a+c}{2}[/tex] allora [tex](\frac{a+c}{2})^2=ac[/tex], cioé[tex](a-c)^2=0[/tex], da cui [tex]a=c[/tex]. Poi sfruttando [tex]b=\frac{a+c}{2}[/tex] si ottiene anche [tex]b=a=c[/tex]
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Re: Progressione geometrica

Messaggioda Gizeta » 16/04/2018, 7:48

Oppure

Testo nascosto:
[tex]b^2=ac[/tex] e [tex]a+c = 2b[/tex], allora

[tex]4b^2=(a+c)^2=a^2+2ac+c^2=a^2+2b^2+c^2 \rightarrow a^2-2b^2+c^2=0[/tex]

[tex]a+c=2b[/tex] si può scrivere anche come [tex]a-b=b-c[/tex], per cui

[tex]0=a^2-2b^2+c^2=(a^2-b^2)-(b^2-c^2)=(a-b)(a+b)-(b-c)(b+c)=(a-b)(a+b)-(a-b)(b+c)=(a-b)(a-c)[/tex]

quindi [tex]a=b=c[/tex]
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