Problemino

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Problemino

Messaggioda GCAE » 15/07/2019, 7:09

Trovare tutti gli m tali per cui m^3+5m^2+3 è un cubo perfetto
GCAE
 
Messaggi: 27
Iscritto il: 30/03/2018, 9:55

Re: Problemino

Messaggioda afullo » 24/07/2019, 13:07

Se [tex]m[/tex] è non negativo:

Testo nascosto:
considerazioni di livello scolastico sulle parabole come funzioni di secondo grado permettono di asserire che, per ogni [tex]m[/tex] siffatto:

[tex]-2m^2+3m-2 < 0 < m^2+12m+5[/tex]

Aggiungendo a tutti i membri la quantità del testo [tex]m^3+5m^2+3[/tex] otteniamo:

[tex]m^3+3m^2+3m+1 < m^3+5m^2+3 < m^3+6m^2+12m+8[/tex]

[tex](m+1)^3 < m^3+5m^2+3 < (m+2)^3[/tex]

dunque [tex]m^3+5m^2+3[/tex] è sempre strettamente compreso tra due cubi perfetti consecutivi, e non può mai esserlo a sua volta.


Se [tex]m[/tex] è negativo:

Testo nascosto:
osserviamo che la disequazione [tex]-2m^2+3m-2 < 0[/tex] vale sempre, mentre [tex]0 < m^2+12m+5[/tex] vale a patto che [tex]m \leq -12[/tex]. In questo caso si può dunque ripercorrere il ragionamento del punto precedente, mentre per [tex]-11 \leq m \leq -1[/tex] basta fare tutti i tentativi ed osservare che non viene mai un cubo perfetto, quindi non ci sono soluzioni per alcun valore intero di [tex]m[/tex].
afullo
 
Messaggi: 1636
Iscritto il: 13/03/2013, 22:06

Re: Problemino

Messaggioda ronny » 30/07/2019, 7:29

Hai tentanto subito la strada della non esistenza di m validi, o c'era qualche indizio che portava a questa idea?
ronny
 
Messaggi: 24
Iscritto il: 20/04/2019, 23:28

Re: Problemino

Messaggioda afullo » 30/07/2019, 8:46

Utilizzando strumenti un po' più avanzati si può verificare che la radice cubica di quella quantità è asintotica a [tex]m+\dfrac{5}{3}[/tex], quindi la sua parte decimale tende a [tex]\dfrac{2}{3}[/tex], ed in particolare non può più essere 0 da un certo punto in poi. Da lì la finitezza delle eventuali soluzioni, e l'invito a provare a limitarla strettamente tra i due interi più vicini...
afullo
 
Messaggi: 1636
Iscritto il: 13/03/2013, 22:06

Re: Problemino

Messaggioda ronny » 30/07/2019, 10:56

Per caso si deve studiare il limite di [tex]\sqrt[3]{m^3+5m^2+3}[/tex]?
Non mi ricordo come si calcolerebbe....
ronny
 
Messaggi: 24
Iscritto il: 20/04/2019, 23:28

Re: Problemino

Messaggioda afullo » 30/07/2019, 12:17

Si può studiare il limite per [tex]m \to \pm \infty[/tex] di [tex]\sqrt[3]{m^3+5m^2+3} - m[/tex], e verificare che risulta [tex]\dfrac{5}{3}[/tex], ma come detto in un altro topic, nell'ambito olimpionico di fatto non serve mai chiamare in causa l'analisi; in questo caso è sufficiente osservare che [tex](m+a)^3 = m^3+3am^2+3a^2m+a^3[/tex], e che il coefficiente dipendente dal parametro [tex]a[/tex] di grado più alto rispetto ad [tex]m[/tex] è uguale a quello della quantità del testo se e solo se [tex]a=\dfrac{5}{3}[/tex]. Certo, posto così senza ulteriori giustificazioni non è proprio formale, ma tanto non è il risultato che deve essere dimostrato, è soltanto un'osservazione intermedia utile ad ispirare la "vera" strategia risolutiva.
afullo
 
Messaggi: 1636
Iscritto il: 13/03/2013, 22:06


Torna a Teoria dei Numeri

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 0 ospiti