problema simpaticissimo

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

problema simpaticissimo

Messaggioda vmaestrella » 04/06/2016, 7:41

Ciao amiche, ho risolto questo dicendo
51-5=6^2 poi 5511-55=66^2 quindi analogamente la risposta dovrebbe essere 2006 volte la cifra 6.
Ovviamente la mia è solo un'intuizione.
Qualcuno mi può indicare la risoluzione? :-)
Calcolate la radice quadrata del numero:
444 ... 44111 ... 11 – 555 ... 55
(il primo addendo è costituito dalla cifra 4 ripetuta 2006 volte e seguita dalla cifra 1 ripetuta anch’essa 2006 volte; il secondo addendo è costituito dalla cifra 5 ripetuta 2006 volte).
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Re: problema simpaticissimo

Messaggioda afullo » 04/06/2016, 10:01

vmaestrella ha scritto:Ciao amiche, ho risolto questo dicendo
51-5=6^2 poi 5511-55=66^2 quindi analogamente la risposta dovrebbe essere 2006 volte la cifra 6.
Ovviamente la mia è solo un'intuizione.
Qualcuno mi può indicare la risoluzione? :-)
Calcolate la radice quadrata del numero:
444 ... 44111 ... 11 – 555 ... 55
(il primo addendo è costituito dalla cifra 4 ripetuta 2006 volte e seguita dalla cifra 1 ripetuta anch’essa 2006 volte; il secondo addendo è costituito dalla cifra 5 ripetuta 2006 volte).


41 e 4411, no? Per formalizzare si potrebbe provare con l'induzione: quella scrittura è vera con un solo sei, poi scomponi n+1 sei nella somma di un sei seguito da n zeri, più n sei, e provi a fare il quadrato usando l'ipotesi induttiva...
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Re: problema simpaticissimo

Messaggioda vmaestrella » 04/06/2016, 13:23

Si era un errore di distrazione. XD
Cmq non so farlo...
Potresti indicarmi i vari passaggi?
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Re: problema simpaticissimo

Messaggioda alex00 » 10/06/2016, 18:05

Dopo mezz'ora di tentativi sono finalmente giunto alla soluzione :D

Come è noto un po' a tutti \(\underbrace{11\ldots1}_n\) ovvero \(n\) "uni" si può scrivere come \(\dfrac{10^n-1}{9}\). Quindi il numeraccio con \(2006\) quattro e \(2006\) uno si può riscrivere come \(\dfrac{10^{2006}-1}{9}\times4\times10^{2006}+\dfrac{10^{2006}-1}{9}\). A questo ora togliamo i \(2006\) cinque che possono essere scritti come \(\dfrac{10^{2006}-1}{9}\times5\).
Uniamo il tutto e otteniamo: \(\dfrac{10^{2006}-1}{9}\times4\times10^{2006}+\dfrac{10^{2006}-1}{9}-\dfrac{10^{2006}-1}{9}\times5\)
A questo punto si tratta di ottenere un quadrato da ciò, iniziamo a raggruppare. \(\dfrac{4\times10^{2\times2006}-4\times10^{2006}+10^{2006}-5\times10^{2006}+5-1}{9}\) che diventa successivamente \(\dfrac{4\times10^{2\times2006}-8\times10^{2006}+4}{9}\) A questo punto raccogliamo per \(4\) e otteniamo \(\dfrac{4(10^{2\times2006}-2\times10^{2006}+1)}{9}\) Siamo fortunati perchè la parentesi è un quadrato!! Riscriviamo perciò tutto: \(\dfrac{4(10^{2006}-1)^2}{9}\) Il problema ci chiede la radice di questo numero che è \(\dfrac{2(10^{2006}-1)}{3}\) A questo punto notiamo che quel \((10^{2006}-1)\) é di qesto tipo \(\underbrace{99\ldots9}_{2006}\) che fratto \(3\) diventa \(\underbrace{33\ldots3}_{2006}\) e moltiplicando per \(2\) otteniamo \(\underbrace{66\ldots6}_{2006}\). Siamo giunti alla soluzione, la radice di \(\underbrace{44\ldots4}_{2006}\underbrace{11\ldots1}_{2006} - \underbrace{55\ldots5}_{2006}=\underbrace{66\ldots6}_{2006}\)
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Re: problema simpaticissimo

Messaggioda ciovino-giallo » 29/06/2016, 13:03

Io ho fatto il conto cosi', non so se sia la stessa soluzione che c'e' gia'. Forse il mio procedimento non e' proprio matematicamente esatto, dite che va bene lo stesso?

Calcolo si' in base dieci, ma uso anche cifre diverse da 0-9, per esempio potrei usare la cifra -4, che indico con (-4) in parentesi, perche' non si confonda con la sottrazione.

[tex]\quad \; 44\dotsb4411\dotsb11\; - \; 55\dotsb55 \; =\\
= \; 44\dotsb44(-4)(-4)\dotsb(-4)(-4) \; =\\
= \; 4 \; \times \; 11\dotsb11(-1)(-1)\dotsb(-1)(-1) \; =\\
= \; 4 \; \times \; 11\dotsb11 \times 100\dotsb0(-1) \; =\\
= \; 4 \; \times \; 11\dotsb11 \; \times \; 99\dotsb99 \; =\\
= \; 4 \; \times \; 9 \; \times \; 11\dotsb11^2 \; = \; \text{etc.}[/tex]
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Re: problema simpaticissimo

Messaggioda polarized » 29/06/2016, 19:39

Per inciso (non ho voglia di scriverla) viene anche con l'induzione come più o meno ha suggerito Afullo, per fortuna a un certo punto si semplifica un bel [tex]10^n[/tex] anche se credo che la soluzione di Alex sia più veloce
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Re: problema simpaticissimo

Messaggioda Salvador » 13/04/2017, 12:37

Boh io ho scritto per ogni $n$:
$(6+6*10+...+6*10^n)^2+\dfrac{5(10^n-1)}{9}=\dfrac{10^2n-1}{9}+3*10^n*\dfrac{10^{n-1}}{9}$, che diventa
$4(10^n-1)^2+5(10^n-1)=10^2n-1+3*10^n(10^n-1)$, da cui poi si arriva all'identità
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