Problema di probabilità

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Problema di probabilità

Messaggioda Albirz » 19/08/2016, 16:34

Sia p(x) il polinomio [tex]x^{2}+ax+b[/tex], con a e b entrambi compresi fra -1 ed 1 (estremi inclusi). Si calcoli la probabilità che le due radici siano entrambi reali, e poi la probabilità che siano entrambe positive.
Allora, per la prima domanda mi trovo con la soluzione, cioè che sarebbe [tex]\displaystyle \frac{13}{6}[/tex]. Per la seconda parte, invece, non mi trovo perchè la soluzione dice che è sufficiente, per la regola dei segni che a<0 e che il discriminante sia positivo e quindi calcola la probabilità come [tex]\frac{1}{2}* \frac{13}{6}[/tex]. Ma, sempre per la regola dei segni, oltre ad a<o, non serve anche b>0 cosicché si abbiano due variazioni e quindi due soluzione positive. Se, prendo il polinomio con a=-2/3 e b=-1/2 si vede che le soluzioni sono entrambe reali ma una positiva e l'altra negativa. In conclusione, la probabilità cercata dovrebbe essere ottenibile col prodotto tra la probabilità che a sia negativo, quella che b sia positiva e che il delta non sia negativo. O no?
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Re: Problema di probabilità

Messaggioda polarized » 19/08/2016, 17:15

Come può una probabilità essere $ \frac {13} 6 >1$?
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Re: Problema di probabilità

Messaggioda Albirz » 19/08/2016, 17:23

Scusa era 13/24
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Re: Problema di probabilità

Messaggioda polarized » 20/08/2016, 11:22

C'è qualcosa che non mi torna nel primo punto, ti mostro come lo ho risolto io

Il testo è equivalente a cercare la probabilità che il determinante sia non negativo, quindi devo vedere quando $$ a^2 \ge 4b$$
Divido in casi
Caso 1: $b<0$
Questo si verifica con probabilità $\dfrac 1 2$ e verifica sempre la disuguaglianza
Caso 2: $ b\ge \dfrac 1 4$
Questo si verifica con probabilità $\dfrac 3 8$ e non verifica MAI la disuguaglianza
Caso 3: $ 0\le b < \dfrac 1 4$
Questo si verifica con probabilità $\dfrac 1 8$
LHS assumerà in media un valore di $\left(\dfrac 1 2 \right)^2=\dfrac 1 4$ e la disuguaglianza sarà verificata con la stessa probabilità con cui $4b$ assume valori inferiori al valore medio del membro di sinistra, ossia quando $0\le b \le \dfrac 1 {16}$. Nelle restrizioni di questo caso ciò avviene con probabilità di $\dfrac 1 4$

Quindi la probabilità che si verifichi la disuguaglianza è $ \dfrac 1 2 + \dfrac 1 8 \cdot \dfrac 1 4=\dfrac {17}{32}$

Dove sbaglio?
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Re: Problema di probabilità

Messaggioda Rho33 » 20/08/2016, 16:02

Anche qui, credo ci sia un errore nel tuo terzo caso, ma ho la testa ad un altro problema e quindi lascio solo la soluzione per il primo caso, che fa effettivamente $\dfrac {13}{24}$. In questo caso, come il precedente, il metodo geometrico si rivela MOLTO utile!

Abbiamo due variabili, che chiamo $x=a, y=b$ in $[-1,1]$ , quindi disegniamo subito il nostro quadrato che ha come asse di simmetria orizzontale l'asse $x$ ed estremi i punti $(-1,0)$ e $(1,0)$. Voglio che sia soddisfatta:

$$x^2 \geq 4y \iff \dfrac {1}{4}x^2 \geq y$$

Ottimo, stavolta abbiamo una parabola! Osserviamo che il nostro quadrato ha area $2 \times 2$ (quindi dovremo dividere per 4 in ogni caso). Distinguo in casi:

$\bullet \ \ y<0$ . In questo caso ogni $x$ va bene, in particolare esattamente metà del nostro quadrato (quella sotto l'asse $x$) va bene, ovvero area $2$, e dividendo per $4$ si ottiene, come hai scritto, $\dfrac {1}{2}$.

$\bullet \ \ y \geq 0$. Qui si fa più attenzione, abbiamo una parabola, e vogliamo l'area che sottende, quindi integriamo e poi dividiamo per $4$ (il bello è che so a malapena cosa siano gli integrali, però tornano utilissimi in probabilità!)

$$\int _{-1}^1 \dfrac {1}{4}x^2 \ \ dx= \dfrac {1}{6}$$

Dividendo per $4$ otteniamo $\dfrac {1}{24}$. Quindi la probabilità sarà:

$$\dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{24}= \dfrac {13}{24}$$
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Re: Problema di probabilità

Messaggioda polarized » 20/08/2016, 16:58

In seguito alla soluzione di Rho rispondo ad Albirz: si, quello che dici è giusto. $a<0$ è necessario per il fatto che la somma delle due radici dev'essere positiva, ma c'è anche da controllare che le soluzioni siano entrambe positive, e quindi $b>0$

Alternativamente puoi pensare che se poni $b>0$ avrai (per simmetria) metà delle soluzioni entrambe negative e metà entrambe positive, quindi dovrà moltiplicare ulteriormente per $\dfrac 1 2 $$
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Re: Problema di probabilità

Messaggioda Albirz » 21/08/2016, 12:20

Si, io ho capito che a<0 e b>0 ma non capisco perchè poi la soluzione mi dica che basta a<0, e quindi moltiplica la probabilità appena cercata (che mi garantisce il delta non nullo) per 1/2(la probabilità che a<0). Non credo che delta non negativo ed a>0, mi garantisce che anche b sia positivo, perchè ci sono casi in cui non è vero. La seconda probabilità a me verrebbe 1/48, 13 volte minore alla soluzione ufficiale, che è 13/48. Ragionando sempre sul grafico che mi viene offerto dalla soluzione, e che è uguale al ragionamento seguito da Rho33, dobbiamo cercare l'area della regione piccola al di sotto della parabola nel secondo quadrante, dove a<0 e b>0, che è 1/12. Divido poi per 4 e mi viene 1/48. Dove sbaglio?
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