Probabilità di "incontro"

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Probabilità di "incontro"

Messaggioda Rbbn » 14/07/2016, 21:05

Due persone (impazienti e pressapochiste) si danno appuntamento in una data località fra le ore 12
e le 13. Ciascuno sceglie in modo casuale (uniforme) ed indipendente dall’altro il momento del suo
arrivo nell’intervallo prefissato. Trascorso un certo tempo t (comune ad entrambi) di attesa
infruttuosa dall’arrivo se ne vanno.
Si determini la probabilità di incontrarsi se t = 10 minuti.
Si dica per quali valori di t la probabilità di incontrarsi è non
superiore a 0.36

Metto in spoiler la mia soluzione, ma non so se sia corretta:
Testo nascosto:
Chiamo le due persone x e y.
La probabilità di incontrarsi non cambia in base alla persona che arriva prima, quindi, chiamando $P_{x}$ la probabilità di incontrarsi quando x arriva per primo,
$P_{tot}=P_{x} + P_{y}=2P_{x}$

Ora ragiono considerando il momento di arrivo di x come una variabile continua.

$x$ varia da $0$ a $1$ (l'unità di misura è l'ora)

$a = t/60$, con t in minuti, quindi a è un parametro reale e varia da $0$ a $1$

Ma, per $x$ che va da $0$ a $(1-a)$, in ogni intervallo infinitesimo di $x$ la probabilità che $y$ si presenti entro un tempo a (in ore) è
$p_{0<x<x+dx<1-a}=a dx$

Per cui, per x che varia da $0$ a $(1-a)$, la probabilità è:
$P_{1}=\int_{0}^{1-a}a~dx=a(1-a)$

Per x che va da (1-a) a 1, in ogni intervallo infinitesimo di $x$, la y non può più presentarsi in un tempo a, ma deve necessariamente presentarsi in un tempo(1-x)
Per cui, per x che varia da $(1-a)$ a $1$, la probabilità è:
$P_{2}=\int_{1-a}^{1}(1-x)~dx=a^2 /2$

Quindi:
$P_{x}=P_{1}+P_{2}=a-a^2 /2$
$P_{tot}=2P_{x}=2a-a^2$

se $t = 10$ allora $a = 1/6$ e
$P_{tot}=1/3-1/36=11/36$
Rbbn
 
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