Prima dimostrazione

Selezioni provinciali delle Olimpiadi della Matematica 2014-2015

Re: Prima dimostrazione

Messaggioda Emanuele676 » 20/02/2015, 15:01

Secondo voi se alla seconda parte ho scritto solo [tex]n=3x+2^y[/tex], prendo qualche punto?

Probabilmente la prima parte non prenderà punteggio pieno, l'ho trattato troppo come un esercizio normale. Probabilmente solo 5 punti.
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Re: Prima dimostrazione

Messaggioda Toadino2 » 20/02/2015, 15:21

PUrtroppo la stessa griglia dei dimostrativi dice "si assegni un punto a chi indica X come soluzione"... devo sperare che la mia correttrice sia buona :D al terzo, invece, non ho scampo...
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Re: Prima dimostrazione

Messaggioda RyzePHi » 20/02/2015, 15:28

Guarda la griglia è molto precisa. Io ad esempio nonostante la scemità del tutto mi sono imbrogliato nel nulla e non l'ho finito ma sicuro prendo tra i 7/9 punti per quello che ho scritto. Vedi ciò che hai scritto con precisione e cosa dice sulla griglia e i punti assegnati. :D
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Re: Prima dimostrazione

Messaggioda alfio97 » 20/02/2015, 15:40

Nella griglia c'è anche scritto di usarla per soluzioni incomplete... se si dimostra quello che deve essere dimostrato e magari non c'è una cosa della griglia credo che il punteggio debba essere pieno...
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Re: Prima dimostrazione

Messaggioda Toadino2 » 20/02/2015, 17:07

Si spera, perché allora dovrei prendere 14 punti direttamente (facendo volare a $42$ la mia quota totale :lol: )
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Re: Prima dimostrazione

Messaggioda Federico II » 20/02/2015, 18:10

Con questa dimostrazione scritta un po' meglio quanti punti potrei prendere?
Testo nascosto:
$(a)$ Si può vincere per $671$ valori di $n$, cioè per tutti e soli i multipli di $3$. Dimostriamo intanto che prima dell'ultima mossa, in caso di vittoria, ci sono $3$ graffette sul banco. Se l'ultima mossa toglieva $3$ graffette, allora prima di essa ce n'erano proprio $3$. Se l'ultima mossa toglieva metà delle graffette, allora prima di essa ce n'erano esattamente il doppio di $0$, cioè sempre $0$, ma questo è assurdo perché avrebbe già vinto in precedenza. Quindi prima dell'ultima mossa ci sono $3$ graffette. Ora notiamo che se $n$ è multiplo di $3$ significa che è della forma $3k$ con $k\in\mathbb{Z^+}$, quindi possiamo usare $k$ volte la mossa che toglie $3$ graffette e vincere. D'altra parte, se $n$ non è multiplo di $3$ ogni mossa porta ad avere di nuovo un numero di graffette che non è multiplo di $3$, infatti la mossa che ne toglie $3$ porta da $m$ graffette a $m-3$, e se $3$ dividesse $m-3$ dovrebbe dividere anche $n$, mentre se si usa la mossa che toglie metà delle graffette significa che prima erano pari, cioè della forma $2x$ con $x\in\mathbb{Z^+}$,quindi dopo la mossa saranno $x$, ma se $3$ dividesse $x$ dovrebbe dividere anche $2x$. Quindi visto che prima della mossa vincente ci devono essere $3$ graffette, cioè un multiplo di $3$, non si può vincere, e la tesi è dimostrata. Quindi si può vincere se e solo se $n$ è multiplo di $3$, cioè per $\lfloor\frac{2015}{3}\rfloor=671$ valori di $n$.
$(b)$ Si può vincere per $1344$ valori di $n$, cioè per tutti e soli quelli che non sono multipli di $3$. Infatti se $n$ non è multiplo di $3$ è della forma $3k+1$ o $3k+2$ con $k\in\mathbb{N}$, e usando $k$ volte la mossa che toglie $3$ graffette si arriva a $1$ o $2$ graffette. Nel primo caso abbiamo già vinto, nel secondo caso possiamo vincere con la mossa che toglie metà delle graffette. D'altra parte, se $n$ è multiplo di $3$ non si può vincere, perché ogni mossa ci porta ad avere un numero di graffette multiplo di $3$, mentre $1$ non lo è. Infatti se togliamo $3$ graffette passiamo da $x$ a $x-3$, e se $3\mid x$ deve essere anche $3\mid x-3$, e se ne togliamo metà passiamo da $2y$ a $y$, e se $3\mid2y$ deve essere anche $3\mid y$ in quanto $MCD(2,\ 3)=1$. Quindi la tesi è dimostrata, e si può vincere se e solo se $n$ non è multiplo di $3$, cioè per $2015-\lfloor\frac{2015}{3}\rfloor=2015-671=1344$ valori di $n$.
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Re: Prima dimostrazione

Messaggioda xXStephXx » 20/02/2015, 18:39

Forse 15 xD Però ci sono parti un po' ridondanti, potevi pure tagliare parecchio credo :D
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Re: Prima dimostrazione

Messaggioda Toadino2 » 20/02/2015, 19:40

Per esempio io penso sia intuitivo che vince se e solo se al primo punto lascia solo tre graffette, non penso ci sia bisogno di una dimostrazione tanto rigorosa :roll: o mi sbaglio?
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Re: Prima dimostrazione

Messaggioda Federico II » 20/02/2015, 23:09

xXStephXx ha scritto:Forse 15 xD Però ci sono parti un po' ridondanti, potevi pure tagliare parecchio credo :D

Forse potevo tagliare, ma quando tagli rischi sempre di perdere punti...
@Toadino2: Stessa risposta xD
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Re: Prima dimostrazione

Messaggioda xXStephXx » 21/02/2015, 17:11

La parte che rimangono 3 graffette non dovrebbe servirti.
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