[L03] Polinomio di terzo grado

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

[L03] Polinomio di terzo grado

Messaggioda Dudin » 24/08/2017, 15:13

Determinare per quali valori di n le soluzioni del polinomio
[tex]X^3 -3X + n = 0[/tex]
sono dei numeri interi.
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Re: [L03] Polinomio di terzo grado

Messaggioda Vinciii » 24/08/2017, 15:36

Testo nascosto:
Siano $x_1, x_2$ e $x_3$ le radici del polinomio. Dalle relazioni radici-coefficienti abbiamo $$x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-3 \\ x_1x_2x_3=-n$$ Avremo $${x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)=6$$ e quindi le uniche soluzioni possibili (a meno dell'ordine) sono $|x_1|=|x_2|=1$ e $|x_3|=2$ (poichè sono le uniche che danno al quadrato un intero minore di $6$ e porre una o più delle radici uguali a zero non dà altre configurazioni possibili). Le uniche soluzioni a soddisfare $x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-3$ sono $x_1=x_2=-1$ e $x_3=2$, oppure $x_1=x_2=1$ e $x_3=-2$, da cui $n=-x_1x_2x_3=-2$ oppure $n=2$.
Ultima modifica di Vinciii il 25/08/2017, 13:34, modificato 1 volta in totale.
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Re: [L03] Polinomio di terzo grado

Messaggioda Dudin » 24/08/2017, 15:43

La soluzione è corretta. Fai solo attenzione perché n può essere anche uguale a 2 (1,1,-2)
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Re: [L03] Polinomio di terzo grado

Messaggioda Vinciii » 24/08/2017, 18:24

Oooooops, ho sbagliato i conti semplici xD
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