Polinomi a coefficienti interi noto p(a)

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Polinomi a coefficienti interi noto p(a)

Messaggioda G64 » 21/04/2018, 16:08

Supponiamo che di un polinomio a coefficienti interi io conosca il valore in a: quali sono i possibili valori che può assumere in b? L'unica restrizione viene da [tex]b-a|p(b)-p(a)[/tex] oppure esistono altri vincoli? E se conosco il valore in 2, 3, [tex]n[/tex] punti?
Insomma a me pare che l'unica restrizione sia quel lemma, però per sicurezza chiedo :D
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Re: Polinomi a coefficienti interi noto p(a)

Messaggioda afullo » 26/04/2018, 13:42

Se conosci il valore in [tex]a[/tex], allora in [tex]b[/tex] può assumere qualunque valore a patto che soddisfi quella condizione. Infatti, questa si può scrivere come [tex]p(b)-p(a) = m \cdot (b-a)[/tex], dove [tex]m[/tex] è un'opportuna costante intera; considerando ora il polinomio di primo grado [tex]p(x) = m \cdot (x-a) + p(a)[/tex], dove [tex]p(a)[/tex] è appunto una quantità nota (quindi possiamo definire il polinomio [tex]p[/tex] conoscendola, altrimenti la definizione sarebbe circolare :mrgreen: ), osserviamo che al variare di [tex]m \in \mathbb{Z}[/tex] otteniamo tutti e soli i casi possibili.

Per esempio, per [tex]m=0[/tex] otteniamo il polinomio costante, per cui [tex]p(b)-p(a)=0[/tex], per [tex]m=1[/tex] quello per il quale [tex]p(b)-p(a)=b-a[/tex], per [tex]m=2[/tex] quello per cui [tex]p(b)-p(a)=2(b-a)[/tex], e così via; pertanto, se da una parte è possibile ottenere per la quantità [tex]p(b)-p(a)[/tex] solo multipli di [tex]b-a[/tex] (è ciò che afferma quel vincolo), dall'altra è possibile ottenere tutti i multipli di [tex]b-a[/tex], quindi esattamente quelli.
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Re: Polinomi a coefficienti interi noto p(a)

Messaggioda G64 » 30/04/2018, 17:00

Perfetto, grazie mille!
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Re: Polinomi a coefficienti interi noto p(a)

Messaggioda afullo » 30/04/2018, 19:53

Per più punti tale requisito è sicuramente una condizione necessaria per tutte le coppie, *penso* che sia anche sufficiente pure se non mi viene una dimostrazione al volo, direi che si possa provare a vedere cosa succede nella tabella delle differenze divise di Newton...
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Re: Polinomi a coefficienti interi noto p(a)

Messaggioda Lasker » 30/04/2018, 22:33

Beh non si può dimostrare perché il caso generale è falso, un controesempio che mi è capitato di trovare in gara è il problema $19$ della finale GaS $2013$. La condizione è necessaria ma non sufficiente.

Per costruire un esempio, prendi un polinomio a coefficienti interi tale che $p(2)=6,p(4)=4, p(6)=2$, e chiediti quanto può valere $p(8)$, il lemma ci dice $6|p(8), 4|p(8), 2|p(8)$ che si riassumono in $12|p(8)$, ma vale anche $p(x)=(x-2)(x-4)(x-6)R(x)+8-x$, da cui $p(8)=6\cdot 4\cdot 2 \cdot R(8)$ che è sempre multiplo di $48$ visto che $R$ è a coefficienti interi e quindi tipo $p(8)=12$ non si combina a farlo.
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
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Re: Polinomi a coefficienti interi noto p(a)

Messaggioda afullo » 01/05/2018, 9:04

Ah ecco. Io avevo fatto alla veloce qualche prova con Newton e mi tornava sempre, però già solo con due punti dati e la ricerca delle possibilità di passaggio per un terzo nei calcoli generali ci si arenava...
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