Persone che si stringono le mani

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Persone che si stringono le mani

Messaggioda Drago » 11/04/2013, 20:16

Ci sono $n$ persone ad una festa e si stringono le mani, abbastanza a caso.
Provare che
  • il numero di persone che stringono un numero dispari di mani è pari
  • almeno due persone stringono lo stesso numero di mani
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Re: Persone che si stringono le mani

Messaggioda Lasker » 11/04/2013, 20:42

1)Invariante Parità
Ovviamente il numero totale di strette di mano è pari, perché se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] si stringono la mano, allora la stretta viene contata due volte, una per [tex]a[/tex] e una per [tex]b[/tex].
Se ci fosse un numero dispari di persone che fanno un numero dispari di strette di mano ognuna, allora il totale di queste strette sarebbe dispari.
Ma visto che le altre persone si stringono le mani un numero pari di volte, questo è assurdo per quanto detto in precedenza.Dunque la tesi è verificata.
2)Pigenhole
Supponiamo che le [tex]n[/tex] persone stringano ognuna un numero di mani diverso.Dunque la prima persona stringe [tex]1[/tex] mano, la seconda [tex]2[/tex], ... , l' n-esima [tex]n-1[/tex] (in quanto non può stringere la mano a se stessa).Da questo deriva che tutti hanno stretto almeno una mano, in quanto uno ne ha strette [tex]n-1[/tex].
Ma essendoci [tex]n[/tex] persone (piccioni), e [tex]n-1[/tex] strette di mano diverse (cassetti), ci saranno almeno due persone con lo stesso numero di strette di mano!
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

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Re: Persone che si stringono le mani

Messaggioda Drago » 11/04/2013, 20:45

Il primo ok ;)
Per il secondo ci potrebbe essere uno che non stringe le mani a nessuno (?)
Forse lo hai detto, ma non è chiarissimo :)
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Re: Persone che si stringono le mani

Messaggioda Lasker » 11/04/2013, 21:01

Beh, se c' è uno che ha stretto le mani a tutti gli altri, non può esserci nessuno che ha stretto 0 mani, giusto? :?
E se ci fosse uno che ha stretto 0 mani, non ci sarebbe quello che ne ha strette n-1...
Ma forse semplicemente non ho capito il problema, è tardi e potrebbe essere :mrgreen:
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Re: Persone che si stringono le mani

Messaggioda Drago » 11/04/2013, 21:07

Lasker ha scritto:Beh, se c' è uno che ha stretto le mani a tutti gli altri, non può esserci nessuno che ha stretto 0 mani, giusto? :?
E se ci fosse uno che ha stretto 0 mani, non ci sarebbe quello che ne ha strette n-1...

Sì, bastava dire questo ;)
Il fatto è che se non lo dici uno può pensare che non hai considerato il caso :)
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