[L02] Parlamento

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

[L02] Parlamento

Messaggioda Gerald Lambeau » 27/01/2016, 21:38

Al giovane e inesperto in politica Matheo viene fatto notare che più gente c'è in parlamento, più pareggi avvengono, soprattutto quando tutti votano fra due sole opzioni e nessuno si astiene; gli viene continuamente ripetuto che ciò è assurdo.
Aiuta Matheo a dimostrare l'effettiva stranezza di questo fatto, mostrandogli come, se $n$ è un intero positivo e $2n$ persone votano con le precedenti condizioni (due sole opzioni, nessuna astensione), allora all'aumentare di $n$ la probabilità di pareggio diminuisce.
BONUS [L$\infty$]: suggerisci a Matheo una legge da proporre al parlamento che metta tutti d'accordo.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: [L02] Parlamento

Messaggioda arna1998 » 28/01/2016, 17:35

Se chiamo con A i parlamentari che votano la prima opzione, e con B quelli che votano la seconda, il numero di modi con cui si ottiene un pareggio è dato dagli anagrammi della parola composta da $n$ A e $n$ B, che sono [tex]\dfrac{(2n)!}{n!^2}[/tex].
Il numero totale di possibili votazione è $2^{2n}$, quindi la probabilità di ottenere un pareggio con $2n$ votanti è [tex]p(n)=\dfrac{(2n)!}{n!^2\cdot 2^{2n}}[/tex].
Ora devo dimostrare che $p(n)>p(n+1)$:

[tex]\dfrac{(2n)!}{n!^2\cdot 2^{2n}}>\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)!^2\cdot 2^{2n+2}}[/tex]

[tex]4>\dfrac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}[/tex]

[tex]2>\dfrac{(2n+1)}{(n+1)}[/tex]

[tex]2n+2>2n+1[/tex]

[tex]2>1[/tex]
che significa che al crescere di $n$ la probabilità di pareggio diminuisce.
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Re: [L02] Parlamento

Messaggioda Gerald Lambeau » 28/01/2016, 18:02

Perfetta :)
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