[L03] $P(n)$ lo vogliamo intero!

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

[L03] $P(n)$ lo vogliamo intero!

Messaggioda Gerald Lambeau » 08/09/2016, 13:49

Trovare tutte le coppie di interi positivi $(a, b)$ per le quali esistono tre interi consecutivi tali che il polinomio $\displaystyle P(n)=\frac{n^5+a}{b}$ sia intero.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: [L03] $P(n)$ lo vogliamo intero!

Messaggioda Giovanni98 » 09/09/2016, 14:31

Supponiamo $b>1$ notando che tutte le coppie $(a,1)$ funzionano.

Vale $n^5 \equiv (n+1)^5 \equiv (n+2)^5 \pmod b$. Dalla prima relazione di congruenza si ottiene $5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1 \equiv 0 \pmod b$, mentre dalla seconda si ricava $10n^4 + 40n^3 + 80n^2 + 80n + 32 \equiv 0 \pmod b$ pertanto $20n^3 + 60n^2 + 70n + 30 \equiv 0 \pmod b$. Ovviamente $b$ è diverso da $5$ e da $2$, quindi $2n^3 + 6n^2 + 7n+3 = (n+1)(2n^2+4n+3) \equiv 0 \pmod b$ da cui $b \mid 2n^2+4n+3$ poichè ovviamente $(b,n+1)=1$. Notiamo adesso che $10n^4 + 40n^3 + 80n^2 + 80n + 32 = (5n^2 + 10n + 12)(2n^2 + 4n+3) + n^2 + 2n - 4 \equiv 0 \pmod b$ da cui $n^2+2n-4 \equiv 0 \pmod b$. Ne consegue che $2n^2 + 4n + 3 - (n^2+2n-4) = n^2 + 2n + 7 \equiv 0 \pmod b$ da cui $n^2+2n+1 \equiv 5 \equiv -6 \pmod b$ pertanto $b \mid 11$ e quindi $b=11$. Notiamo ora che prendendo $a \equiv 1 \pmod {11}$ ed $n=3$ oppure $a \equiv -1 \pmod {11}$ e $n=6$ si ha che $P(n),P(n+1),P(n+2) \in \mathbb{Z}$. Pertanto tutte le coppie $(a,11)$ dove $a \equiv \pm 1 \pmod {11}$ funzionano.
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Re: [L03] $P(n)$ lo vogliamo intero!

Messaggioda Gerald Lambeau » 09/09/2016, 14:47

Buona!
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