ogf di $n^n$

Oltre la matematica elementare: teoria, esercizi, e riflessioni sulle varie branche della matematica che si fanno all'università.

ogf di $n^n$

Messaggioda nil » 22/04/2014, 15:33

Qualcuno sa qual è, ha qualche idea su come trovarla, se si scrive in forma bella (ho cercato vari modi, ma per esempio le funzioni ipergeometriche già non vanno bene)
Poi non so se è più facile di quello che credo

$$\sum_{n=0}^\infty n^n x^n=F(x) = 1 + x + 4x^2 + 27x^3 + 256x^4+\dots$$

dove $a_0 = 1$ perché $\lim_{n\rightarrow 0}n^n = 1$

Ora credo che $F(x)$ non converga mai se non per $x=0$, infatti supponiamo converga per $x=1/q$ , esistendo necessariamente un numero $n>q$ si avrà dal monomio $x^n$ in poi una somma di numeri $>1$ , quando sappiamo che $1+1+1+1+1+1+1+\dots$ non converge.

Anche se non so come questo possa servire, anzi credo complichi le cose :?
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Re: ogf di $n^n$

Messaggioda Drago » 22/04/2014, 16:04

Eh, non saprei...
Hai detto bene, converge solo per $ x=0 $ (un altro modo per calcolare il raggio di convergenza è il reciproco di $ lim_{n\to\infty}\sqrt [n]{a_n} $), e questo complica un pochino le cose... però dovrebbe essere fattibile calcolare la sua egf, dato che *dovrebbe*convergere, almeno per un po' di valori (potrebbe essere $ R=1 $, ma non ne son sicuro); però anche qua, non te la so dire al volo...
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Re: ogf di $n^n$

Messaggioda nil » 22/04/2014, 19:37

In realtà mi servirebbe $$ogf({\frac{n^{n-2}}{(2012+n)^n}})$$

che credo converga per qualche valore (in particolare per $x=1$)

Tuttavia volevo vedere anche quell'altra e le relazioni con questa (che non ho trovato ancora, by the way)
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Re: ogf di $n^n$

Messaggioda Drago » 22/04/2014, 19:45

Ahahah, stai pescando problemi vecchi dall'oliforum? :P
Non l'avevo risolto, poi provo a vederlo... comunque è una generatrice molto più semplice di $ n^n $, dato che hai un denominatore più grande del numeratore... :)
Penso che un intervento di ema sarebbe gradito xD
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Re: ogf di $n^n$

Messaggioda nil » 22/04/2014, 19:54

Drago ha scritto:Ahahah, stai pescando problemi vecchi dall'oliforum? :P
Non l'avevo risolto, poi provo a vederlo... comunque è una generatrice molto più semplice di $ n^n $, dato che hai un denominatore più grande del numeratore... :)
Penso che un intervento di ema sarebbe gradito xD


Giàgià :lol: sono parecchio carini a vederli i problemi che posta. Peccato che non riesca a mettere nemmeno le basi per la risoluzione :roll:
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Re: ogf di $n^n$

Messaggioda enigma » 13/05/2014, 10:33

Non ho presente il problema dell'Oliforum da cui viene, comunque vi scrivo un paio di cose.
  • Come avete già scritto, col criterio della radice si vede che $\text{OGF}(n^n)$ converge per $x=0$ mentre $\text{OGF}(n^{n-2}/(2012+n)^n)$ converge sull'asse reale per $|x|\leq 1$-all'interno per il criterio della radice e sul bordo per confronto.
  • Qual è, come si trova, si scrive in forma bella? Supponendo di avere il tuo stesso concetto di forma bella, sono abbastanza sicuro che (tolte alcune trasformazioni integrali) non si possa, neanche per un singolo valore di $x \neq 0$. Il motivo è che non conosciamo neanche un singolo valore di $x$ per cui si possa esprimere in forma bella la ben semplice $\text{OGF}(n^{-n})(x)$.
  • $\text{EGF}(n^n)$, invece, per l'approssimazione di Stirling e il criterio della radice converge quando $|x|<1/e$. Inoltre, diverge se $x=1/e$ e converge condizionatamente per $x=-1/e$. Per la forma bella vale lo stesso discorso di prima.
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Re: ogf di $n^n$

Messaggioda nil » 14/05/2014, 17:06

Ok, grazie! Il problema che dicevamo era questo
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