numero critico

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

numero critico

Messaggioda vmaestrella » 16/02/2017, 21:56

Un numero naturale si dice critico se il prodotto delle sue cifre `e 1920 e nessuna delle sue cifre `e
uguale a 1. Dire quanti sono i numeri critici.
vmaestrella
 
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Re: numero critico

Messaggioda Salvador » 05/06/2017, 18:37

Testo nascosto:
$1920=2^7*3*5$.
Poiché i fattori sono tutte cifre singole devono essere minori di 10: pertanto comparirà sicuramente un 5, e compariranno o un 3 o un 6, e come potenze di 2 solo 2, 4, 8. Contiamo i casi in base alla presenza o meno di un 3 o un 6:
- compare il 3: abbiamo un 5, un 3 e altre cifre che moltiplicate tra loro danno 128:
- esse sono tutte uguali a 2: il nostro numero ha 9 cifre, con sette 2, un 3 e un 5, e vi sono $9!/7!=72$ numeri;
- una è uguale a 4, le altre a 2: il nostro numero ha 8 cifre, con cinque 2, un 4, un 3 e un 5 e vi sono $\dfrac{8!}{5!}=336$ numeri;
- due sono uguali a 4, le altre a 2: il nostro numero ha 7 cifre, con tre 2, due 4, un 3 e un 5 e vi sono $\dfrac{7!}{3!2!}=420$ numeri;
- tre sono uguali a 4: il nostro numero ha 6 cifre, con un 2, tre 4, un 3 e un 5 e vi sono $\dfrac{6!}{3!}=120$ numeri;
- una è uguale a 8, le altre a 2: il nostro numero ha 7 cifre, con un 8, quattro 2, un 3 e un 5 e vi sono $\dfrac{7!}{4!}=210$ numeri;
- due sono uguali a 8: il nostro numero ha 5 cifre, con due 8, un 2, un 3 e un 5 e vi sono $\dfrac{5!}{2!}=60$ numeri;
- una è uguale a 4, un'altra a 8, le altre a 2: il nostro numero ha 6 cifre, con un 4, un 8, due 2, un 3 e un 5 e vi sono $\dfrac{6!}{2!}=360$ numeri;
- due sono uguali a 4, un'altra a 8: il nostro numero ha 5 cifre, con due 4, un 8, un 3 e un 5 e vi sono $\dfrac{5!}{2!}=60$ numeri;
- il totale è 72+336+420+120+210+60+360+60=1638;
- compare il 6: allora le altre cifre danno come prodotto 64:
- sono tutte uguali a 2: il nostro numero ha 8 cifre, con sei 2, un 6 e un 5, e si hanno $\dfrac{8!}{6!}=56$ numeri;
- una è uguale a 4, le altre a 2: il nostro numero ha 7 cifre, con quattro 2, un 4, un 6 e un 5, e si hanno $\dfrac{7!}{4!}=210$ numeri;
- due sono uguali a 4, le altre a 2: il nostro numero ha 6 cifre, con due 2, due 4, un 6 e un 5, e si hanno $\dfrac{6!}{2!2!}=180$ numeri;
- tre sono uguali a 4: il nostro numero ha 5 cifre, con tre 4, un 6 e un 5, e si hanno $\dfrac{5!}{3!}=20$ numeri;
- una è uguale a 8, le altre a 2: il nostro numero ha 6 cifre, con un 8, tre 2, un 6 e un 5, e si hanno $\dfrac{6!}{3!}=120$ numeri;
- due sono uguali a 8: il nostro numero ha 4 cifre, con due 8, un 3 e un 5, e si hanno $\dfrac{4!}{2!}=12$ numeri;
- una è uguale a 4, un'altra a 8, il resto a 2: il nostro numero ha 5 cifre, con un 4, un 8, un 2, un 6 e un 5, e si hanno $5!=120$ numeri;
- in totale abbiamo 56+210+180+20+120+12+120=718 numeri.
I numeri critici sono dunque 1638+718=2356.
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Re: numero critico

Messaggioda 0004POWER » 05/06/2017, 18:39

Mi sembra plausibile
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Re: numero critico

Messaggioda Salvador » 05/06/2017, 18:44

0004POWER ha scritto:Mi sembra plausibile

Lo so è piuttosto lunga :lol:
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