NUMERI PRIMI

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

NUMERI PRIMI

Messaggioda Benny140 » 02/06/2017, 16:01

Quali sono le coppie [tex](p,q)[/tex] di numeri primi tali che [tex]p^{q}+q^{p}[/tex] è un numero primo
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Re: NUMERI PRIMI

Messaggioda Salvador » 02/06/2017, 16:27

Solo (3,2) e (2,3).
Almeno uno tra $p,q$ è pari e quindi uguale a 2: se infatti fossero entrambi dispari $p^q+q^p$ sarebbe pari e dunque uguale a 2, ma ciò obbligherebbe $p=q=1$, inaccettabile. Supponiamo $q=2$ e abbiamo $p^2+2^p$ che dev'essere primo.
Questa quantità non può essere pari a 3, in quanto bisognerebbe avere $p=1$, inaccettabile. Pertanto possiamo supporla maggiore di 3.
Si ha dunque $p^2+2^p\equiv\pm 1 \bmod{6}$. Poiché $p$ dev'essere dispari, si ha $2^p\equiv 2 \bmod{6}$, ovvero $p^2+2\equiv \pm 1 \bmod{6}$. Nel primo caso si ha $p^2\equiv -1 \bmod{6}$, impossibile; nel secondo si ha $p^2\equiv 3\bmod{6}$, soddisfatta solo per $p=3$ tra i primi, che dà come risultato $3^2+2^3=17$.
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Re: NUMERI PRIMI

Messaggioda Benny140 » 02/06/2017, 16:29

MIA SOLUZIONE
Testo nascosto:
Se [tex]p, q[/tex] sono entrambi pari, allora anche [tex]p^{q} + q^{p}[/tex] è pari. Quindi si ottiene [tex]2^{2} + 2^{2} = 2[/tex]. ASSURDO.
Se [tex]p,q[/tex] sono entrambi dispari, allora [tex]p^{q} + q^{p}[/tex] è pari. Quindi si ottiene [tex]p^{q} + q^{p} = 2[/tex]. ASSURDO, perchè [tex]p^{q} + q^{p}\geq 2^{2}+2^{2} = 8[/tex]
Segue che uno tra [tex]p, q[/tex] è pari, l'altro è dispari. Siccome [tex]p^{q}+q^{p}[/tex], supponiamo [tex]p=2[/tex]. L'espressione iniziale diventa [tex]2^{q} + q^{2}[/tex], con [tex]q \neq 2[/tex].
Ora supponiamo [tex]q \neq 3[/tex] e consideriamo l'espressione mod 3: (ricordando che [tex]q[/tex] è dispari e per LTF) [tex]2^{q} + q^{2} \equiv 2 + 1 \equiv 0[/tex] (mod 3). Quindi [tex]2^{q}
+ q^{2} = 3[/tex], che è impossibile. L'ultimo caso da analizzare è quello in cui [tex]q=3[/tex], per cui otteniamo [tex]2^{3} + 3^{2} = 17[/tex], che è primo. Concludiamo che le uniche soluzioni sono [tex](2,3),(3,2)[/tex].
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