[L03] Numeri di Fibonacci

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

[L03] Numeri di Fibonacci

Messaggioda Salvador » 17/02/2017, 23:22

Al variare di $n$ intero positivo, si consideri il numero $s_n$ di sequenze di interi crescenti, alternativamente pari e dispari, che cominciano con 0 e terminano con $n$. Ad esempio, per $n=3$ si hanno solo le sequenze $0,1,2,3$ e $0,3$, per cui $s_3=2$. Si dimostri che i numeri $s_n$ sono i numeri di Fibonacci.
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Re: [L03] Numeri di Fibonacci

Messaggioda Roob » 18/02/2017, 15:05

Testo nascosto:
Tutte le sequenze che arrivano a [tex]n[/tex] e contengono [tex]1[/tex] possono essere ottenute sommando [tex]1[/tex] a tutti gli elementi delle sequenze che arrivano a [tex]n-1[/tex] e aggiungendo lo [tex]0[/tex] iniziale, mentre quelle che non contengono [tex]1[/tex] possono essere ottenute aggiungendo [tex]2[/tex] a tutti gli elementi tranne lo [tex]0[/tex] delle sequenze che arrivano a [tex]n-2[/tex].
Visto che una sequenza o contiene o non contiene [tex]1[/tex]
[tex]\displaystyle s_{n}=s_{n-1}+s_{n-2}[/tex]
E visto che [tex]s_1=F_1[/tex] e [tex]s_2=F_2[/tex]
[tex]s_n=F_n[/tex]
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Re: [L03] Numeri di Fibonacci

Messaggioda Salvador » 18/02/2017, 15:23

A posto. Io invece avevo pensato così:
Testo nascosto:
Considero una sequenza che arriva a $n>2$ e cancello il suo ultimo elemento. A questo punto ci sono due possibilità:
- l'ultimo elemento rimasto è $n-1$, per cui la sequenza corrisponde a una di quelle per $n-1$;
- l'ultimo elemento rimasto è $<n-1$: poiché ha la stessa parità di questo, esso è anche $<n-2$: si può dunque aggiungere $n-2$ alla sequenza, ottenendone una di quelle di $n-2$.
È possibile poi applicare il procedimento inverso alle sequenze che terminano in $n-2$ e $n-1$ ottenendo sequenze in $n$, pertanto $s_n=s_{n-1}+s_{n-2}$ per $n>2$ e poiché $s_1=s_2=1$, $s_n=F_n$.
Ultima modifica di Salvador il 18/02/2017, 15:47, modificato 1 volta in totale.
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Re: [L03] Numeri di Fibonacci

Messaggioda Salvador » 18/02/2017, 15:25

Come posso mettere il pedice $n-1$ a $s$ senza avere le parentesi?
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Re: [L03] Numeri di Fibonacci

Messaggioda Roob » 18/02/2017, 15:29

Con le graffe
Codice: Seleziona tutto
s_{n-1}
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Re: [L03] Numeri di Fibonacci

Messaggioda Salvador » 18/02/2017, 15:45

Ah ok grazie. E come si fa quella cosa Codice: seleziona tutto?
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Re: [L03] Numeri di Fibonacci

Messaggioda Roob » 18/02/2017, 15:56

Nell'editor tra le varie cose come "tex" o "spoiler" c'è "code"
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