Numeri binari

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Numeri binari

Messaggioda Giovanni98 » 17/04/2015, 12:20

$N$ è un intero positivo ed è uguale a $111...101$ scritto in base 2 dove gli 1 prima dello 0 sono 2015.

Determinare la somma delle cifre di $N^3$ sempre in base 2
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Re: Numeri binari

Messaggioda Giovanni98 » 26/04/2015, 20:01

up...
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Re: Numeri binari

Messaggioda lucaboss98 » 26/04/2015, 21:06

Dopo brutti conti: $4030$ ?
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Re: Numeri binari

Messaggioda Giovanni98 » 26/04/2015, 21:23

Nope, ma sei vicino
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Re: Numeri binari

Messaggioda lucaboss98 » 27/04/2015, 17:19

Vabbè, mi scoccio di rifarli ahhaah :D
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Re: Numeri binari

Messaggioda Giovanni98 » 27/04/2015, 18:54

aahhahahaha xD
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Re: Numeri binari

Messaggioda polarized » 27/04/2015, 18:57

Un hint? :(
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Re: Numeri binari

Messaggioda Delfad0r » 27/04/2015, 19:13

Hint:
Testo nascosto:
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Re: Numeri binari

Messaggioda polarized » 27/04/2015, 19:20

Altro hint su come usare ideone.com? :lol:
Certo farli contare a "qualcun altro" sembra senza dubbio una buona idea :D :lol:
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Re: Numeri binari

Messaggioda Saro00 » 27/04/2015, 21:15

Soluzione
Testo nascosto:
[tex]1.[/tex] Il numero è equivalente a [tex]2^{2017}-3[/tex]
[tex]2.[/tex] Sviluppo [tex](2^{2017}-3)^{3}=2^{6051}-9*2^{4034}+27*2^{2017}-27[/tex]
[tex]3.[/tex]Ora devo riuscire a trasformare lo sviluppo in una somma di potenze del [tex]2[/tex], così mi basterà contare quante sono e ho finito.
[tex]2^{6051}-9*2^{4034}+27*2^{2017}-27=[/tex]
[tex]=2^{6051}-8*2^{4034}-2^{4034}+16*2^{2017}+8*2^{2017}+2*2^{2017}+2^{2017}-16-8-2-1=[/tex]
[tex]=2^{6051}-2^{4037}-2^{4034}+2^{2021}+2^{2020}+2^{2018}+2^{2017}-2^{4}-2^{3}-2-1[/tex].
Ora devo riuscire a togliere i [tex]-[/tex].
Inizio a considerare i primi due termini, [tex]2^{6051}-2^{4037}=2^{4037}*(2^{2014}-1)=2^{4037}*(2^{2013}+2^{2012}+...+2+1)=[/tex]
[tex]=2^{6050}+2^{6049}+2^{6048}...+2^{4038}+2^{4037}[/tex]. $
Per togliere il [tex]-[/tex] del terzo termine [tex](-2^{4034})[/tex] considero la somma tra esso e [tex]2^{4037}[/tex], appena ottenuto.
[tex]2^{4037}-2^{4034}=[/tex][tex]2^{4034}*(2^{3}-1)=[/tex][tex]2^{4034}*(2^{2}+2+1)=2^{4036}+2^{4035}+2^{4034}[/tex] $.
Infine per togliere i [tex]-[/tex] degli ultimi termini, considero [tex]2^{2017}=2^{2016}+2^{2015}+...+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2+1+1[/tex]. Quindi la somma di [tex]2^{2017}-16-8-2-1=2^{2016}+2^{2015}+...+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2+1+1+(-16-8-2-1)=[/tex][tex]2^{2016}+2^{2015}+...+2^{5}+2^{2}+1[/tex] $
[tex]4.[/tex] Ricapitolando, le potenze di 2 da contare sono segnate da $, da aggiungere a quelle iniziali che non ho modificato (3). Sono:
[tex]2013+3+2014+3=4033.[/tex]
Ho dato per scontato che la somma delle prime [tex]n[/tex] potenze del [tex]2[/tex] siano uguali a [tex]2^{n+1}-1[/tex]
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
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