Normale Pisa 2014/15, problema 3

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Normale Pisa 2014/15, problema 3

Messaggioda Emanuele » 28/12/2015, 20:45

Il testo del problema è abbastanza lungo e c'è anche un'immagine (anche se non necessaria), quindi vi riporto il link del testo: http://www.sns.it/sites/default/files/documenti/27-07-2015/pdammiannoscienze2014-15.pdf

Credo di avere una soluzione per il primo punto ma potrei anche sbagliarmi perchè è una strada un po complessa. Voi come lo risolvereste?
Emanuele
 
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Re: Normale Pisa 2014/15, problema 3

Messaggioda Enigmatico » 14/01/2016, 22:55

Ti scrivo prima il pnto 2 che l'1 e' un po' lunghetto...
Allora, detta $p$ la probabilita' di girare ad est ad un qualunque nodo e $q$ quella di girare a nord, si noti che tutti i nodi da cui si puo' attraversare la retta sono tutti e soli quelli appartenenti a $y=x$ e quindi di coordinate $(i;i)$. Per raggiungere tali punti e' necessario eseguire $i$ passi verso est con probabilita' $p$ e $i$ passi verso nord con probabilita' $q$. Si osservi, inoltre, che la probabilita' di raggiungere tali nodi e' data dall'intersezione dei diversi eventi corrispondenti ai singli passi, sicche' l'ordine degli stessi e' ininfluente. Pertanto, laprobabilita' di attraversare la retta $y=x+\frac{1}{2}$ dall'i-esimo nodo e' data da $(pq)^{i} q$, mentre la probabilita' cercata e' l'unione di quella di ogni singolo nodo:$\sum_{i=0} (pq)^{i}q$.
E', ora, necessario dimostrare che
$\frac{q}{p} \geq \sum_{i=0} (pq)^{i} q=q \sum_{i=0} (pq)^{i}=\textrm{lim} i\Rightarrow \textrm{+inf} q \frac{(pq)^{i=1}-1}{pq-1}= q \frac{1}{1-pq} \Rightarrow q\geq \frac{qp}{1-qp} \Rightarrow \frac{qp-q+(pq)^{2}}{1-pq}\leq 0$
Si sostituisca, ora $q=1-p$ e si scomponga il nmeratore.
$\frac{(p+1)(p-1)^{3}}{p^{2}-p+1} \leq 0$
Si noti che il denominatore e' sempre positivo, pertanto, studiare la frazione equivale a studiare il segno del denominatore.
$(p+1)(p-1)^{3} \leq 0$
Ricordando che la probabilita' di un evento e' compresa tra $0$ e $1$ estremi inclusi, la disequazione risulta sempre verificata.
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Re: Normale Pisa 2014/15, problema 3

Messaggioda lucaboss98 » 14/01/2016, 23:29

Enigmatico ha scritto: Pertanto, laprobabilita' di attraversare la retta $y=x+\frac{1}{2}$ dall'i-esimo nodo e' data da $(pq)^{i} q$.

NO!
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Re: Normale Pisa 2014/15, problema 3

Messaggioda Enigmatico » 16/01/2016, 11:29

Perché?
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Re: Normale Pisa 2014/15, problema 3

Messaggioda lucaboss98 » 16/01/2016, 17:22

Ok che non conta il percorso svolto, ma importerà un po' quanti sono i percorsi?
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Re: Normale Pisa 2014/15, problema 3

Messaggioda Enigmatico » 17/01/2016, 11:02

Secondo me non contavano, perché contano? Mi spiace, ma non ne ho idea...
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Re: Normale Pisa 2014/15, problema 3

Messaggioda lucaboss98 » 17/01/2016, 13:37

Tu come calcoli la probabilità che muovendosi a caso con probabilità $2^{-1}$ tra destra e sopra di andare dalla casella $(0,0)$ in quella $(m,n)$ di una scacchiera infinita?
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Re: Normale Pisa 2014/15, problema 3

Messaggioda Enigmatico » 17/01/2016, 15:32

Ti direi $\frac{1}{2}^{n+m}$ ma mi sa che è la risposta sbagliata...
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Re: Normale Pisa 2014/15, problema 3

Messaggioda lucaboss98 » 17/01/2016, 16:02

Lo è: ora se io ti dico che se fai $\sum_{i=0}^n V(i,n-i)=1$ , giusto? (Guardala graficamente)
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Re: Normale Pisa 2014/15, problema 3

Messaggioda Enigmatico » 17/01/2016, 16:17

Scusami, ma ho sparato una boiata sul problema dell'$2^{-1}$... La probabilità è ${n+m \choose n} / 2^{n+m}$ perché le scelte sono tutte equiprobabili.
Per il messaggio che hai appena mandato non ho capito cosa è $V(i,n-i)$
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