Non capisco dove sbaglio

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Non capisco dove sbaglio

Messaggioda Vinciii » 26/04/2017, 10:02

Scusate, potreste calcolarmi $5^{89} \pmod{7}$ e $14^{54} \pmod{10}$?
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Re: Non capisco dove sbaglio

Messaggioda Lasker » 26/04/2017, 12:24

Il primo usi il piccolo teorema di Fermat e trovi $5^{89}\equiv 5^{89 \pmod 6}\pmod 7\equiv 5^{-1} \pmod 7$ e l'inverso moltiplicativo di $5$ modulo $7$ è $3$ (alternativamente ti fai i casi e vedi che le potenze di $5$ sono periodiche modulo $7$ con periodo $6$).
Il secondo devi stare un pelo più attento perché $10$ non è coprimo con $14$ e quindi non puoi usare eulero/fermat direttamente, piuttosto conviene scomporre sfruttando il teorema cinese del resto in due congruenze equivalenti a quella di partenza
$$\cases {14^{54}\equiv a \pmod 2\\ 14^{54}\equiv b \pmod 5}$$
Osserva che visto che $14$ è pari si ha $a=0$, mentre $14^{54}\equiv (-1)^{54} \pmod 5 \equiv 1 \pmod 5$, quindi $b=1$. Ora appunto usi il teorema cinese del resto per trovare che $14^{54}\equiv 6 \pmod {10}$ ($6$ è l'unico numero minore di $10$ che soddisfa entrambe quelle congruenze e quindi deve essere la risposta). Di nuovo alternativamente puoi vedere che i resti di $14^{n}$ sono periodici modulo $10$ con periodo di lunghezza $2$ (quindi è piuttosto facile vedere in questo modo qual è la risposta).
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

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Re: Non capisco dove sbaglio

Messaggioda Vinciii » 26/04/2017, 12:29

Grazie mille, ho capito tutto :)
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