Mr bean vs Robin hood

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Mr bean vs Robin hood

Messaggioda Livex » 26/07/2013, 22:09

Robin Hood e Mr. Bean si sfidano in una gara di tiro con l’arco. Il bersaglio è un cerchio di raggio 1 e
vince chi lo colpisce piu vicino al centro. Ciascuno effettua un solo tiro, ed entrambi sono abbastanza
abili da colpire con certezza il bersaglio, ma:
- Mr. Bean colpisce “alla cieca”, ossia con probabilita uniforme in qualsiasi parte del bersaglio;
- Robin Hood ha probabilita r di colpire il bersaglio ad una distanza dal centro non maggiore di r
(per ogni [tex]0 \le r \le 1[/tex]).
Con che probabilita sara Mr. Bean a vincere la gara?

Dato che ho visto questo problema da un altra parte, dove c'erano solo soluzioni non elementari, evitate di utilizzare gli integrali e le derivate se ce la fate, la soluzione è anche elementare, se no me ne faro una ragione.
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Re: Mr bean vs Robin hood

Messaggioda abcde » 26/11/2013, 19:41

Non può vincere!
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Re: Mr bean vs Robin hood

Messaggioda Livex » 26/11/2013, 23:40

Mr bean spara a caso percio grazie al destino potrebbe colpire il centro, robin hood potrebbe fallire :ugeek:
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Re: Mr bean vs Robin hood

Messaggioda Lasker » 27/11/2013, 7:10

Se vuoi riesco a fare una dimostrazione con integrali/densità di probabilità, ma non sono ancora arrivato ad una soluzione elementare, anche se il risultato farebbe pensare alla sua esistenza :evil:
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

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Re: Mr bean vs Robin hood

Messaggioda RITA » 27/11/2013, 15:11

ciao sapete dirmi dove vedere le soluzioni e le discussioni delle olimpiadi di questa mattina? :D
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Re: Mr bean vs Robin hood

Messaggioda bio95 » 27/11/2013, 15:19

non ci sono altri dati? se il problema richiede una probabilità certa, non saprei dove cominciare..
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Re: Mr bean vs Robin hood

Messaggioda b8dc4 » 27/11/2013, 15:48

Azzardo questa soluzione poco formale e probabilmente sbagliatissima. Mr bean tira a caso e colpisce il bersaglio a una distanza [tex]d[/tex] dal centro. La probabilità che Robin vinca è [tex]d[/tex]. Poiché Mr bean spara a caso in media colpisce il bersaglio ad una distanza di [tex]1/2[/tex], quindi in media Robin vince [tex]1/2[/tex] delle volte.
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Re: Mr bean vs Robin hood

Messaggioda Francutio » 27/11/2013, 15:56

b8dc4 ha scritto:Azzardo questa soluzione poco formale e probabilmente sbagliatissima. Mr bean tira a caso e colpisce il bersaglio a una distanza [tex]d[/tex] dal centro. La probabilità che Robin vinca è [tex]d[/tex]. Poiché Mr bean spara a caso in media colpisce il bersaglio ad una distanza di [tex]1/2[/tex], quindi in media Robin vince [tex]1/2[/tex] delle volte.


- Ricordati che la somma delle probabilità dei vari eventi deve dare necessariamente 1. E' il primo modo per verificare se la propria soluzione è sensata o meno.

- La distanza media dal centro dei colpi di Mr Bean non è 1/2, cerca di capire perchè.
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Re: Mr bean vs Robin hood

Messaggioda b8dc4 » 27/11/2013, 16:23

Già è vero. La distanza media dovrebbe essere [tex]\sqrt2/2[/tex] perché si parla di aree non di segmenti. Se il bersaglio fosse un segmento di lunghezza [tex]1[/tex] la mia vechia soluzione sarebbe giusta?
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Re: Mr bean vs Robin hood

Messaggioda Lasker » 28/11/2013, 20:29

Ok, mi sento pronto per l'orribile soluzione non elementare :lol: :

Consideriamo il caso in cui Mr. Bean (d'ora in avanti $A$ per comodità :mrgreen: ) colpisca la corona circolare infinitesima compresa tra $r_a$ e $r_a+dr_a$. La probabilità di fare tale tiro è proporzionale all'area di questa corona (in quanto $A$ ha una probabilità uniforme di colpire ogni punto del bersaglio), che è chiaramente $2\pi r_adr_a$.
Il fattore di proporzionalità è tale che all'area di tutto il cerchio (che è $\pi$) corrisponda la probabilità $P=1$, e quindi è esattamente $\frac{1}{\pi}$.
Da questa osservazione, possiamo dire che:
$$dP(r_a)=2r_adr_a$$
Adesso, se $A$ colpisce a distanza $r_a$, la probabilità che vinca $B$ è $P(B)=r_a$; sommando le probabilità (sono indipendenti) per tutti i possibili valori di $r_a$ si ottiene:
$$P(V_B)=\int_{0}^1 r_a\cdot 2r_a dra=2\left[\frac{r_a}{3}\right]_0^1=\frac{2}{3}$$
Questa è la probabilità che vinca $B$, per trovare quella di $A$ basterà dunque fare $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.
Probabilmente, visto che si tratta di numeri "semplici" esiste una soluzione elementare, che però non ho ancora trovato :roll: .
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