Molto facile ma carino.

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

Molto facile ma carino.

Messaggioda Giovanni98 » 05/07/2017, 8:37

Sia $P(x)$ un polinomio a coefficienti reali. Mostrare che se $\exists n \in \mathbb{Z}$ tale che $P(n) \not \in \mathbb{Z}$ allora $P(x)$ non è intero per infiniti interi $x$.
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Re: Molto facile ma carino.

Messaggioda pipotoninoster » 23/02/2018, 13:36

Sia [tex]p(x)=f(x)+g(x)[/tex] con [tex]f(x)[/tex] a coefficienti razionali e [tex]g(x)[/tex] a coefficienti irrazionali. Allora g(x) si può scrivere come:
[tex]g(x)=(a_1)(g_1(x))+...+(a_k)(g_k(x))[/tex] dove [tex]a_1,...,a_k[/tex], [tex]k>0[/tex] sono irrazionali linearmente indipendenti su [tex]Q[/tex] e [tex]g_1(x),...,g_k(x)[/tex] sono a coefficienti razionali. Allora [tex]f(a)[/tex] è razionale se e solo se [tex]g_1(a)=...=g_k(a)=0[/tex] il che accade solo per un numero finito di valori. quindi esistono infiniti valori interi [tex]x[/tex]per cui [tex]g(x)[/tex] non è razionale e quindi nemmeno [tex]p(x)[/tex] è razionale.
Se invece [tex]p(x)=f(x)[/tex] in [tex]Q[x][/tex], [tex]deg(p)=r[/tex]allora sia[tex]p(x)=(a_r/b_r)x^r+...+(a_0/b_0)[/tex] con [tex]a_1,...,a_r[/tex] interi e [tex]b_1,...b_r[/tex] interi non nulli. Se si prende [tex]x=n+h(b_1b_2...b_r)[/tex], [tex]h[/tex] intero allora [tex]p(x)=p(n)+(roba intera)[/tex] non intero.
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