Minimizzare un risultato(?)

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Minimizzare un risultato(?)

Messaggioda feddd » 07/05/2017, 13:13

Se io ho due interi [tex]a,b[/tex] tali che [tex]a+b=140[/tex] come faccio a far sì che [tex]\sqrt{a^2 + b^2}[/tex] dia il risultato più piccolo possibile?
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Re: Minimizzare un risultato(?)

Messaggioda 0004POWER » 07/05/2017, 14:09

Sai che (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Quindi (a+b)^2 - 2ab = a^2 + b^2
Vuoi che a^2 + b^2 sia il più piccolo possibile, e poiché (a+b)^2 è fisso a 140^2, - 2ab deve essere il più grande possibile, ciò avviene quando a=b=70.
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Re: Minimizzare un risultato(?)

Messaggioda Benny140 » 07/05/2017, 17:29

Puoi utilizzare la disuguaglianza tra media quadratica(QM) e media aritmetica(AM), infatti vale sempre la seguente relazione:
[tex]QM \geq AM[/tex]

In particolare nel nostro caso abbiamo che [tex]\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \geq \frac {a+b}{2} =140/2 = 70[/tex].
Da cui emerge che [tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}} \geq 70\sqrt{2}[/tex]
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Re: Minimizzare un risultato(?)

Messaggioda feddd » 07/05/2017, 17:58

Grazie a entrambi! :)
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Re: Minimizzare un risultato(?)

Messaggioda Sky » 20/05/2017, 7:37

Geometricamente viene bene, considera la retta x+y=140, il punto che ti interessa è il più vicino all'origine
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