Minatore intrappolato

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Minatore intrappolato

Messaggioda ngshya » 17/10/2013, 18:18

Un minatore è stato intrappolato in un buco di una miniera con 3 porte.

Una porta conduce all'uscita in 2 ore.
Un'altra porta riporta il minatore al punto di partenza in 3 ore.
L'ultima porta riporta il minatore al punto di partenza in 5 ore.

Ogni volta che il minatore torna al punto di partenza non si ricorda che porte ha scelto le volte precedenti e sceglie a caso una porta fra le tre sperando di uscire dalla miniera.

Qual è il tempo medio per uscire definitivamente dalla miniera?
Avatar utente
ngshya
 
Messaggi: 1032
Iscritto il: 12/03/2013, 21:57

Re: Minatore intrappolato

Messaggioda Lasker » 24/10/2013, 18:33

Bon, visto che non lo tenta nessuno, ecco una mia proposta di soluzione.
Chiamato $T$ il tempo medio, basterà risolvere questa equazione:
$$T=\frac{1}{3}\cdot 2h+\frac{1}{3}\cdot(T+3h)+\frac{1}{3}\cdot(T+5h)$$
Perché, tornato alla posizione iniziale, non ha memoria di quanto fatto prima.
$$T=2h+3h+5h=10h$$
Dunque il tempo medio per uscire è di $10$ ore.
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Lasker
 
Messaggi: 834
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00

Re: Minatore intrappolato

Messaggioda Livex » 25/10/2013, 16:54

A me viene 5h, ma non riesco a dimostrarlo completamente perche con i limiti non ci so ancora fare, probabilmente ci sara una soluzione elementare, io non l'ho trovata.
Livex
 
Messaggi: 994
Iscritto il: 15/03/2013, 15:33

Re: Minatore intrappolato

Messaggioda Livex » 25/10/2013, 16:54

doppio
Livex
 
Messaggi: 994
Iscritto il: 15/03/2013, 15:33

Re: Minatore intrappolato

Messaggioda xXStephXx » 26/10/2013, 12:30

wall98 ha scritto:perche con i limiti non ci so ancora fare, probabilmente ci sara una soluzione elementare, io non l'ho trovata.

Quella di Lasker penso vada bene ed è elementare.
Poi in questo caso dovrebbe essere elementare pure quella con i limiti.
Infatti la puoi vedere in questo modo:
- calcoli il numero medio di volte in cui il minatore prende la strada sbagliata prima di prendere quella giusta.
- moltiplichi il risultato trovato per il tempo medio che il minatore perde prendendo strade sbagliate.
- aggiungi $2$ ore che è il tempo che impiega per prendere la strada giusta.

Il numero medio di volte che sbaglia strada prima di prendere la strada giusta è dato da:
$\displaystyle \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3}\frac{1}{3} \cdot 1 + \bigg(\frac{2}{3}\bigg)^2 \frac{1}{3} \cdot 2 + \bigg(\frac{2}{3}\bigg)^3 \frac{1}{3} \cdot 3 + ... $

Che con un incolonnamento triangolare (incasinato da rappresentare col latex, ma facile da rappresentare su carta) la puoi vedere come somma di progressioni geometriche. Il tutto converge a $2$.

Poi si sa che il tempo medio che perde prendendo strade sbagliate è $4$.
Quindi in media il tempo perso è $4\cdot 2= 8$ più le $2$ ore che impiega per uscire e siamo a $10$.

Ovviamente non conviene usare questo metodo, era giusto per far vedere che c'è :lol:
xXStephXx
 
Messaggi: 628
Iscritto il: 23/03/2013, 18:12

Re: Minatore intrappolato

Messaggioda afullo » 28/10/2013, 1:40

Attenzione che non sempre la media del prodotto è uguale al prodotto delle medie. In questo caso sì, ma bisogna accertarsi che le variabili aleatorie siano indipendenti. ;)
afullo
 
Messaggi: 1792
Iscritto il: 13/03/2013, 22:06

Re: Minatore intrappolato

Messaggioda Livex » 28/10/2013, 16:01

[tex]\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3}\frac{1}{3} \cdot 1 + \bigg(\frac{2}{3}\bigg)^2 \frac{1}{3} \cdot 2...=\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3}\frac{1}{3} \cdot 1 + \bigg(\frac{2}{3}\bigg)^2 \frac{1}{3} \cdot 1 + \bigg(\frac{2}{3}\bigg)^2 \frac{1}{3} \cdot 1 + ...[/tex]

e converge a 2, ho fatto un altro conto e wolfram alpha mi diceva 5, mi sono accorto adesso che manca un dettaglio nella somma...
Livex
 
Messaggi: 994
Iscritto il: 15/03/2013, 15:33


Torna a Combinatoria e Probabilità

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 0 ospiti