Mh...forse non è algebra ma vbe :)

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

Mh...forse non è algebra ma vbe :)

Messaggioda Giovanni98 » 12/04/2015, 16:13

Per quanti valori diversi di $A $ che è un intero positivo minore di $10000$ esiste un polinomio $P (x) $ con coefficienti uguali a $1,0,-1$ tale che $P(4) =A $?
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Re: Mh...forse non è algebra ma vbe :)

Messaggioda Saro00 » 18/04/2015, 16:01

Accetto ogni tipo di consiglio (sono in 1 e non ho molta teoria)
Testo nascosto:
[tex]1.[/tex] Dimostro che se un polinomio [tex]P(x)[/tex] ha grado [tex]\geq7[/tex] e soddisfa le condizioni richieste allora [tex]|P(4)|>10000[/tex].
Sia [tex]x^{n}[/tex] il termine di grado massimo del polinomio, esso può avere coefficiente [tex]=1[/tex] o [tex]=-1[/tex]. Se ha coefficiente [tex]1[/tex] allora per far "abbassare" più possibile il valore assoluto, tutti gli altri coefficienti dovranno essere [tex]=-1[/tex]. Ora dimostro per induzione che [tex]4^{x}-\sum_{k=1}^{x-1}4^{k}>10000[/tex] per ogni [tex]x\geq7[/tex]. (Base dell'induzione) Per [tex]x=7[/tex] si ha che [tex]10923>10000[/tex], che è vero; (Passo induttivo) Suppongo che la tesi sia vera e dimostro che è anche vera per [tex]x+1[/tex], infatti si ha che [tex]4^{x+1}-\sum_{k=1}^{x}4^{k}=2*4^{x}+4^{x}-\sum_{k=1}^{x-1}4^{k}[/tex], che è [tex]>10000[/tex], poiché [tex]2*4^{x}[/tex] è sempre un numero positivo. Per il principio di induzione possiamo affermare che [tex]4^{x}-\sum_{k=1}^{x-1}4^{k}>10000[/tex] per ogni [tex]x\geq7[/tex].
Se il termine di grado massimo ha coefficiente [tex]=-1[/tex] vale la stessa cosa, poichè sarà sempre negativo e con valore assoluto [tex]>10000[/tex].
[tex]2.[/tex] Ora calcolo tutte le possibili combinazioni dei coefficienti dei termini che sono [tex]3^7[/tex]. Di questi dobbiamo considerare solo quelli positivi; innanzitutto togliamo il caso in cui tutti i coefficienti siano uguali a zero, che è l'unico caso in cui [tex]P(4)=0[/tex]. A questo punto notiamo che ad ogni polinomio positivo possiamo associare uno e un solo polinomio negativo (e viceversa) che ha stesso valore assoluto ma segno opposto; per ottenere questo polinomio basta cambiare i coefficienti [tex]1[/tex] con [tex]-1[/tex] e viceversa e lasciare i coefficienti [tex]0[/tex] così come sono. Da quanto detto i polinomi in cui [tex]P(4)[/tex] è positivo sono lo stesso numero dei polinomi in cui [tex]P(4)[/tex] è negativo. Quindi il numero totale di polinomi sarà [tex]\frac{3^{7}-1}{2}=1093[/tex].
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
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Re: Mh...forse non è algebra ma vbe :)

Messaggioda Giovanni98 » 18/04/2015, 16:44

Si, è corretta, bravissimo :)
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Re: Mh...forse non è algebra ma vbe :)

Messaggioda Saro00 » 18/04/2015, 17:11

Grazie
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
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