Mettere radici

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

Mettere radici

Messaggioda Gizeta » 05/09/2018, 11:42

Sia [tex]k \in \mathbb{Q^+}[/tex], dimostrare che l'insieme [tex]A=\{q: q \in \mathbb{Q} \land q^2 < k\}[/tex] non ha estremo superiore.

Nota: si sta chiedendo di dimostrare la seguente proposizione [tex](\forall x)(x \in A \Rightarrow (\exists y)(y \in A \land y > x))[/tex]
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Re: Mettere radici

Messaggioda SPhantom » 06/05/2019, 13:51

Sia q(n) il numero ottenuto troncando √k alla n-esima cifra dopo la virgola.Allora q(n) è una successione di numeri razionali crescenti e dato che q(n)<√k abbiamo che q(n)²<k,cioè q(n)∈A ∀n∈ℕ .Abbiamo che preso qualsiasi q(n) esiste un q(n+1)∈A tale che q(n+1)>q(n).
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Re: Mettere radici

Messaggioda Gizeta » 30/06/2019, 10:52

Mi accorgo solo ora di non aver specificato che si sta considerando [tex]A[/tex] come sottoinsieme di [tex]\mathbb{Q}[/tex] e non di [tex]\mathbb{R}[/tex]; in quest'ultimo caso la tesi proposta è falsa e si ha proprio [tex]sup(A)=\sqrt{k}[/tex]. Sotto questa restrizione ci si rende conto che, anche solo algoritmicamente, non è opportuno utilizzare [tex]\sqrt{k}[/tex] per rispondere al quesito.


Non so se potrò intervenire successivamente a questo post, quindi cercherò di dare quanti più dettagli possibile per giungere alla soluzione che ho in mente.

_______________________________________________


Sia [tex]k \ge 1[/tex] e [tex]x\in A[/tex]; per definizione [tex]x^2 < k[/tex].
Ora aggiungiamo una certa quantità [tex]\gamma \in \mathbb{Q}[/tex] ad [tex]x[/tex] e imponiamo che si abbia ancora [tex](x+\gamma)^2<k[/tex], ossia

[tex]x^2+2x\gamma+\gamma^2-k<0[/tex], o alternativamente [tex]\gamma^2+2x\gamma+(x^2-k)<0[/tex]

In particolare questa viene soddisfatta da valori positivi per [tex]0\le\gamma<\sqrt{k}-x[/tex], quindi non ci resta che trovare un razionale contenuto in questo intervallo. Abbiamo

[tex]\displaystyle 0<k-x^2=(\sqrt{k}-x)(\sqrt{k}+x)<(\sqrt{k}-x)(k+x) \rightarrow 0<\frac{k-x^2}{k+x}<\sqrt{k}-x[/tex]

[Nota[tex]_1[/tex]: qui stiamo sfruttando l'ipotesi [tex]k \ge 1[/tex]; infatti se [tex]k<1[/tex] vale [tex]\sqrt{k}>k[/tex]]

e

[tex]\displaystyle \gamma = \frac{k-x^2}{k+x} \in \mathbb{Q}^{+}[/tex]


Abbiamo così dimostrato che se [tex]k\ge 1[/tex] e [tex]x \in \mathbb{Q}^{+}[/tex] soddisfa [tex]x^2<k[/tex], ossia [tex]x \in A[/tex], allora si ha anche [tex]\displaystyle x+\frac{k-x^2}{k+x}>x[/tex] e ancora [tex]\displaystyle \left (x+\frac{k-x^2}{k+x} \right )^2 < k[/tex], di conseguenza [tex]\displaystyle x+\frac{k-x^2}{k+x} \in A[/tex].


Ora per [tex]k \ge 1[/tex] con tecniche simili a quella di sopra è possibile mostrare che l'insieme dei razionali positivi il cui quadrato è maggiore di [tex]k[/tex] non ammette estremo inferiore, ossia per ogni [tex]x[/tex] razionale positivo tale che [tex]x^2>k[/tex] esiste un [tex]\gamma>0[/tex] tale che ancora [tex](x-\gamma)^2 > k[/tex] e [tex]x-\gamma > 0[/tex]; quindi, tornando al nostro problema originale, se [tex]k<1[/tex] e [tex]x^2<k[/tex] ([tex]x \in \mathbb{Q}^{+})[/tex] abbiamo che [tex]\displaystyle \frac{1}{k} \ge 1[/tex] e [tex]\displaystyle \left ( \frac{1}{x} \right )^2>\frac{1}{k}[/tex], dunque per la proposizione citata poco sopra esiste [tex]\gamma \in \mathbb{Q}^{+}[/tex] tale che [tex]\displaystyle \left(\frac{1}{x}-\gamma\right)^2 > \frac{1}{k}[/tex] e [tex]\displaystyle \frac{1}{x}-\gamma > 0[/tex] (dunque, in particolare, [tex]0<1-x\gamma<1[/tex]), conseguentemente si ha anche

[tex]\displaystyle \left( \frac{1}{\frac{1}{x}-\gamma} \right)^2 < k[/tex]

e

[tex]\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{x}-\gamma} = \frac{x}{1-x\gamma}>\frac{x}{1}=x[/tex]


È così dimostrata la proposizione anche per il caso [tex]k<1[/tex], e quindi per ogni [tex]k \in \mathbb{Q}^{+}[/tex].


Nota[tex]_2[/tex]: in quanto mostrato sopra le radici quadrate intervengono solo per procedimenti di stima e non di definizione (come invece accade nel caso in cui si voglia definire una successione troncando ad un certa cifra [tex]\displaystyle \sqrt{k}[/tex]); abbiamo definito utilizzando solo numeri razionali.

Nota[tex]_3[/tex]: la tesi del primo post può essere resa vera sostituendo l'oggetto estremo superiore con l'oggetto massimo (infatti per definizione il massimo dovrebbe appartenere ad [tex]A[/tex], ma nel corpo di questo messaggio abbiamo dimostrato che [tex]A[/tex] non ne possiede uno).
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Re: Mettere radici

Messaggioda afullo » 01/07/2019, 17:11

D'altronde [tex]\mathbb{R}[/tex] è un campo completo, quindi per una delle due definizioni equivalenti, ogni suo sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato è dotato di estremo superiore (l'altra è quella forse più nota, che vede ogni successione di Cauchy essere convergente) ;)
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