Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

[Giovanni98]

Dire quante terne di numeri interi $(k,n,m) $ tali che $1 \le k \le n \le m $ abbiano come MCD uguale a 7 e mcm uguale a 7000000

[Luke99]

Allora sappiamo che il loro prodotto è 1000000 quindi esso è scomponibile in 2 alla sesta per 5 alla sesta quindi cerchiamo tutte le combinazioni di 12 su 3 che sono uguali a 220. È giusto ?

[polarized]

A me viene 42

[Luke99]

Come l hai risolto polarized ?

[polarized]

Come l hai risolto polarized ?

Così:
Se [tex]MCD(a,b,c)=7[/tex] significa che 7 è presente nella fattorizzazione di tutti e tre i fattori
Se [tex]mcm(a,b,c)=7*2^6*5^6[/tex] significa che [tex]7[/tex] non ha mai un esponente maggiore di 1 nella fattorizzazione di tutti e tre i fattori [tex]a,b,c[/tex]; inoltre i fattori primi [tex]2[/tex] e [tex]5[/tex] sono presenti in almeno uno dei tre fattori [tex]a,b,c[/tex] con esponente [tex]6[/tex] e mai in tutti e tre (altrimenti MCD sarebbe maggiore di 7)
Quindi assegno un 7 a tutti e tre i fattori [tex]a,b,c[/tex] e poi procedo così: ne scelgo due a cui assegnare un 2; uno di questi due dovrà avere esponente 6 e il secondo esponente che varia da 0 (compreso) a 6 (potrebbe anche essere che solo uno dei fattori abbia il 2 nella propria fattorizzazione): [tex]\binom {3}{2}*7=21[/tex]
Stessa cosa per il fattore primo 5; adesso non ho idea del perchè prima abbia sommato i due valori, quando adesso mi sembra chiaro che vanno moltiplicati

Quindi il mio risultato è [tex]21^2[/tex]