[L03/04] Mattonelle divise

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

[L03/04] Mattonelle divise

Messaggioda Gerald Lambeau » 11/05/2016, 21:41

Siamo in un piano su cui è disegnata una griglia infinita di quadrati di lato unitario. Vengono disposte sulla griglia, rispettando le linee della stessa, mattonelle $2 \times 1$ seguendo il pattern della foto (lo so, è storta, fate uno sforzo e immaginatevela dritta).
Scegliamo un intero positivo $n$ e disegniamo, seguendo le linee della griglia, un quadrato di lato $n$. Le quattro linee dei lati del quadrato finiranno quindi per dividere a metà alcune mattonelle, mentre le altre verranno segnate sul bordo e quindi rimarranno intatte.
Dimostrare che le mattonelle divise a metà sono esattamente $n$.
Immagine
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Re: [L03/04] Mattonelle divise

Messaggioda Roob » 12/01/2017, 22:05

Raddrizziamo la griglia, e notiamo che si creano delle "scale" di sole mattonelle orizzontali o verticali. Togliamo i confini tra le mattonelle che fanno parte della stessa scala. Restiamo con delle scale, appunto, che supponiamo andare in direzione alto-sinistra/basso-destra (basterebbe aver ruotato l'immagine nell'altro senso per averle nell'altra direzione) . Osserviamo che qualsiasi quadrato [tex]n\times n[/tex] attraversa [tex]n[/tex] scale, questo perché nella sua diagonale alto-destra/basso-sinistra, composta da [tex]n[/tex] quadratini, ogni quadratino fa parte di una scala diversa. Quindi possiamo dividere il quadrato in [tex]n[/tex] parti diverse, a seconda della scala a cui appartengono i suoi quadratini. Adesso notiamo che ognuna di queste parti confina con l'esterno su due lati, con due quadratini per lato. Perché? Supponiamo che non sia così e lavoriamo sul lato di sinistra, che tanto è uguale per gli altri lati. Per come sono fatte le scale, per ogni quadratino anche il quadratino sopra o sotto fa parte della scala, che quindi confina su due quadratini, a meno che il quadratino sopra (o sotto) non sia esterno, ma allora quadratino di destra è pure sul confine. L'unica possibile eccezione è che il quadratino sia l'unico a far parte della sua scala, essendo quindi sul vertice in alto a destra o in basso a sinistra. Ma in ogni caso divide in due la mattonella di cui fa parte, quindi ci va bene. Ovviamente i due confini delle scale sono su due lati che sono o sinistra e sotto, o destra e sopra. I due confini sono quindi perpendicolari e, a seconda dell'orientamento delle mattonelle della scala, solo quello orientato diversamente la intersecherà. Ma avevamo [tex]n[/tex] scale in un quadrato, quindi avremo [tex]n[/tex] mattonelle tagliate a metà.
Notiamo che la tesi è vera per qualsiasi orientamento che scegliamo per le mattonelle in una scala, e non questo in particolare.
Devo scrivere decisamente dimostrazioni più corte. :(
(E rispondere a problemi meno vecchi lol)
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Re: [L03/04] Mattonelle divise

Messaggioda Gerald Lambeau » 12/01/2017, 22:23

Roob ha scritto:Supponiamo che non sia così e lavoriamo sul lato di sinistra, che tanto è uguale per gli altri lati. Per come sono fatte le scale, per ogni quadratino anche il quadratino sopra o sotto fa parte della scala, che quindi confina su due quadratini, a meno che il quadratino sopra (o sotto) non sia esterno, ma allora quadratino di destra è pure sul confine.

Non si capisce bene cosa vuoi dire; io ho capito cosa vuoi dimostrare, ma forse usi le parole senza prestarci troppa attenzione e così rischi di confondere i concetti. Prova a riformulare la dimostrazione con un'impostazione più semplice, chiara e inequivocabile usando i giusti termini con attenzione, senza creare confusione.

Detto questo, idea fantastica, io l'avevo brutalmente attaccato di induzione :lol:
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Re: [L03/04] Mattonelle divise

Messaggioda Gerald Lambeau » 12/01/2017, 22:30

Ti dirò, ho notato ora che c'è un altro modo, semplicissimo, di spiegare come ogni scala venga tagliata esattamente una volta, devi fare un paio di conti semplicissimi guardando alle cose giuste, ma non dovrebbe essere difficile.

Se proprio non ci arrivi, ti butto un hint:
Testo nascosto:
supponi l'assurdo, dimostra che allora il quadrato diventerebbe un rettangolo
.

Ad ogni modo, per esercitarti prova a:
- rispiegare bene la tua soluzione (esercizio di scrittura della soluzione);
- cercare l'altro modo di risolvere il problema (esercizio) o, se proprio non riesci senza l'hint, usa l'hint per trovare la soluzione che ti suggerisco (esercizio di allenamento sull'uso di un'idea).
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Re: [L03/04] Mattonelle divise

Messaggioda Roob » 13/01/2017, 20:15

Prima di tutto grazie mille per l'aiuto!
Spero che sia qualcosa di migliore di prima, anche grazie ai tuoi suggerimenti, dunque ritento.
Testo nascosto:
N=Nord, S=Sud, O=Ovest e E=Est, per semplificare
Ruotiamo di 45° in senso antiorario l'immagine, e notiamo delle scale diagonali di mattonelle orientate allo stesso modo. Togliamo i confini all'interno di ogni scala, e consideriamo un quadrato di lato [tex]n[/tex]. In esso abbiamo di sicuro [tex]n[/tex] scale diverse, perché quadratini distinti della sua diagonale NE-SO non possono appartenere alla stessa scala.
Ogni scala è tagliata da due lati del quadrato, che possono essere o N e E, oppure S e O, a causa dell'inclinazione delle scale, che non possono "oltrepassare" la diagonale NO-SE. Ogni scala è quindi tagliata da due lati perpendicolari e, a seconda se le mattonelle sono orizzontali o verticali, solo una mattonella per ogni scala può essere divisa in due. Dunque avendo [tex]n[/tex] scale e una mattonella divisa per scala, abbiamo [tex]n[/tex] mattonelle divise.
(Ho pensato che quella cosa che provavo a dimostrare è abbastanza ovvia, tranne forse per la scala che comprende la diagonale, ma questo caso si può risolvere con il tuo metodo)
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Re: [L03/04] Mattonelle divise

Messaggioda Gerald Lambeau » 15/01/2017, 17:36

Roob ha scritto:Ogni scala è quindi tagliata da due lati perpendicolari e, a seconda se le mattonelle sono orizzontali o verticali, solo una mattonella per ogni scala può essere divisa in due.

Questa cosa è vera, forse anche abbastanza ovvia, ma va spiegata! Il resto è ok.
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