maledetti mattoncini

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

maledetti mattoncini

Messaggioda Pollo3 » 01/05/2018, 15:23

avrei bisogno di una mano su questo problema che non riesco proprio a risolvere...Arctanoid è un gioco il cui obiettivo è distruggere un enorme muro formato da 2015 mattoncini: Mario è imbattibile e
li distrugge al ritmo di uno al secondo. Il punteggio viene assegnato in questo modo: ogni due mattoncini distrutti si
guadagna un numero razionale di punti pari al rapporto tra 10 000 e (s^2)-1
, dove s sono i secondi trascorsi dall’inizio
del gioco. Perciò, quando dopo 2 secondi Mario distrugge il secondo mattoncino guadagna i suoi primi 10 000 /3
punti e
quando dopo 4 secondi distrugge il quarto guadagna altri 10 000
/15 punti. Quanti punti avrà alla fine del gioco?
Testo nascosto:
ho notato che il denominatore è una diff di quadrati e che quindi la somma si puo scrivere come sommatoria di 1/( 2n+1)(2n-1) con n naturale che va da 1 a 1007 il tutto moltiplicato per 10000 , ma da qui a saper calcolare questa sommatoria ...ho anche notato che il tutto si puo vedere per la stessa ragione come 1/(1x3)+1/(3x5) +1/(5x7 ).... x10000 ma nuovamente non so che farmene
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Re: maledetti mattoncini

Messaggioda afullo » 01/05/2018, 17:40

Prova a scrivere quelle frazioni come differenze, e a vedere quanti addendi si semplificano... ;)
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Re: maledetti mattoncini

Messaggioda Pollo3 » 02/05/2018, 17:20

temo di non aver capito l hint , che intedi per "scrivere quelle frazioni come differenze" ? se intendi che
Testo nascosto:
( non credo ) il denominatore si puo vedere come differeza di quadrati l ho gia fatto e non ci vedo niente , se intendi che posso vederlo come la somma degli inversi dei quadrati pari piu qualcosina pure cio pensato ma non mi ha portato a niente ... ( ho cercato di sfruttae il fatto che so che gli inversi dei quadrati hanno somma pari a pi^2/6 )
mi sento stupido :roll:
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Re: maledetti mattoncini

Messaggioda Lasker » 02/05/2018, 17:42

se conosci il problema di Basilea DEVI conoscere già questo trucco :roll:
Scrivi $\frac{1}{(2n+1)(2n-1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$ e nota che nella somma che fai si semplificano cose
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

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Re: maledetti mattoncini

Messaggioda afullo » 02/05/2018, 20:21

Ecco, una variante della serie di Mengoli insomma ;)
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Re: maledetti mattoncini

Messaggioda Pollo3 » 07/05/2018, 16:01

grazie mille dell aiuto , in effetti non conoscevo il problema di basilea , ma ci sarei dovuto arrivare lo stesso .in effetti quando l ho chiesto a macchiaroli ( sono andato a cesenatico per la gara a squadre e non avevo ancora letto questi messagi ) mi ha fatto vedere che in generale una frazione con denominatore prodotto di a e b si puo sempre scrivere come somma di due frazioni con denominatore a e l altra denominatore b ,trovi il numeratore in modo semplice con un sistemino e tal volta questa cosa è utile ..ps a questo punto sono curioso di conoscere il problema di basilea e sapere ( per ragioni non connesse ) che se pensate del libro " the art of problem solving "
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Re: maledetti mattoncini

Messaggioda afullo » 07/05/2018, 16:13

Vale anche per il calcolo letterale, e in tal caso assume il nome di scomposizione in fratti semplici di Hermite, molto utile quando si tratta di trovare le primitive di una funzione razionale.
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Re: maledetti mattoncini

Messaggioda Lasker » 07/05/2018, 16:45

Beh avevi dato impressione con i tuoi messaggi di conoscere il fatto che la serie dei reciproci dei quadrati converge a $\frac{\pi^2}{6}$ che è noto come problema di Basilea ed è ben più difficile di questo (la stessa dimostrazione che quella serie converge si fa con degli argomenti telescopici se ricordo bene, a patto che eviti il criterio di condensazione di cauchy o stime con integrali, per quello dicevo che conoscendo quel fatto sei in un certo senso tenuto a sapere come si fa il tuo problema :lol: ). Il libro che dici è stato già discusso da qualche parte sul forum e non credo che le impressioni siano cambiate, prova con la funzione "cerca".
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Re: maledetti mattoncini

Messaggioda Gizeta » 07/05/2018, 17:38

Clicca qui per una (tre, se si seguono i due link contenuti all'interno di quest'ultima pagina) discussione sulla decomposizione.
La stessa tecnica è brevemente citata in The Art and Craft of Problem Solving nella nota numero 7 relativa all'esempio 4.3.4 pagg. 134-135.

Il libro di Zeitz presenta una buona illustrazione di buona parte della teoria e i primi capitoli incentrati sull'aspetto psicologico del problem solving potrebbero suscitare interesse, ma di contro ha un numero piuttosto scarso di problemi (quasi tutti privi di soluzione); è più accessibile di Problem-Solving Strategies e non lesina con i dettagli delle soluzioni dei problemi d'esempio, a differenza del testo di Engel (la sezione iniziale del capitolo sugli invarianti è un buon banco di prova, in tal senso - cfr. Capitolo 1, Problema d'esempio 1).
In definitiva, suggerirei di utilizzarlo accompagnato da una buona raccolta di problemi (l'Engel e i vari problemi delle olimpiadi italiane, ad esempio).
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Re: maledetti mattoncini

Messaggioda Pollo3 » 09/05/2018, 17:54

Lasker ha scritto:Beh avevi dato impressione con i tuoi messaggi di conoscere il fatto che la serie dei reciproci dei quadrati converge a $\frac{\pi^2}{6}$ che è noto come problema di Basilea ed è ben più difficile di questo (la stessa dimostrazione che quella serie converge si fa con degli argomenti telescopici se ricordo bene, a patto che eviti il criterio di condensazione di cauchy o stime con integrali, per quello dicevo che conoscendo quel fatto sei in un certo senso tenuto a sapere come si fa il tuo problema :lol: ). Il libro che dici è stato già discusso da qualche parte sul forum e non credo che le impressioni siano cambiate, prova con la funzione "cerca".

in effetti so solo che converge a quel valore perche in una lezione piu tosto divulgativa di oddifreddi cita questo fatto per dire che i numeri primi non sono poi cosi solitari , ma non conoscevo neanche mezza idea della dimostrazione ne che si chiamasse problema di basilea .. , gizeta grazie mille dell aiuto riguardo il libro ,in effetti il lato psicologico mi interessa , ma so bene che" l ansia da prestazione "si combatte soprattutto con tonnellate di problemi , quindi credo che prendero entrambi :D
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