[L05] Ma la sezione è giusta? (SNS 2016-4)

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

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Messaggioda mr96 » 26/08/2016, 11:59

Si hanno a disposizione due dadi equilibrati (nei quali ogni faccia ha la stessa probabilità di uscita) rispettivamente a $4$ e $9$ facce. Si possono scrivere degli interi positivi su ogni faccia (anche ripetuti) in modo tale che, lanciando contemporaneamente i dadi, ogni intero positivo abbia la stessa probabilità di uscire rispetto al lancio di due dadi "standard" a $6$ facce? Determinare tutte le soluzioni.
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Re: [L05] Ma la sezione è giusta? (SNS 2016-4)

Messaggioda Rho33 » 26/08/2016, 18:39

Mah, non ho avuto tempo per rifletterci, magari domani, ma mi domando se un approccio del genere porti alla soluzione (liberissimi di continuarlo se postate prima di me :mrgreen: ):

Testo nascosto:
La prima idea che balza all'occhio è usare le generatrici! Cioè vogliamo che:

$$(x^{a_1}+x^{a_2}+x^{a_3}+x^{a_4}) \cdot (x^{b_1}+ \dots x^{b_9})=(x+x^2+ \dots +x^6)^2$$ e da qui usare il principio di identità dei polinomi, casomai poi ci penso...
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Re: [L05] Ma la sezione è giusta? (SNS 2016-4)

Messaggioda mr96 » 26/08/2016, 19:16

L'idea c'è :D
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Re: [L05] Ma la sezione è giusta? (SNS 2016-4)

Messaggioda Rho33 » 26/08/2016, 19:53

Uh ottimo allora, un motivo in più per pensarci a mente fresca!
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Re: [L05] Ma la sezione è giusta? (SNS 2016-4)

Messaggioda polarized » 29/08/2016, 17:20

Dopo aver studiato (con fatica) le generatrici per un paio di giorni sono tornato su questo problema. Potete darmi un Hint? Purtroppo lo spunto dato da mr96 sull'oliforum non l'ho compreso :(
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Re: [L05] Ma la sezione è giusta? (SNS 2016-4)

Messaggioda mr96 » 29/08/2016, 18:20

polarized ha scritto:Dopo aver studiato (con fatica) le generatrici per un paio di giorni sono tornato su questo problema. Potete darmi un Hint? Purtroppo lo spunto dato da mr96 sull'oliforum non l'ho compreso :(

In pratica per aver la stessa distribuzione di probabilità vuoi che la funzione generatrice del lancio dei due dadi a 6 facce sia uguale a quella del lancio di un dado a 4 facce e uno a 9. Detta [tex]p(x)=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6[/tex] la funzione generatrice di un dado a 6 facce equilibrato (detto terra terra: metto agli esponenti i valori che possono uscire e come coefficienti il numero di facce sul quale c'è scritto quel numero), voglio due polinomi [tex]q(x),s(x)[/tex] tali che [tex]p(x)^2=q(x)s(x)[/tex], che requisiti devono avere questi polinomi? Semplicemente la somma dei coefficienti deve essere il numero di facce del dado a cui mi riferisco, quindi uno dei due deve avere somma dei coefficienti 4 e l'altro 9. Da qui è solo manipolazione di polinomi: come si scompone [tex]p(x)[/tex]? (Per inciso, quella su oliforum è la soluzione completa, ho solo saltato i conti alla fine :lol: )
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Re: [L05] Ma la sezione è giusta? (SNS 2016-4)

Messaggioda polarized » 29/08/2016, 19:59

mr96 ha scritto:In pratica per aver la stessa distribuzione di probabilità vuoi che la funzione generatrice del lancio dei due dadi a 6 facce sia uguale a quella del lancio di un dado a 4 facce e uno a 9. Detta [tex]p(x)=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6[/tex] la funzione generatrice di un dado a 6 facce equilibrato (detto terra terra: metto agli esponenti i valori che possono uscire e come coefficienti il numero di facce sul quale c'è scritto quel numero), voglio due polinomi [tex]q(x),s(x)[/tex] tali che [tex]p(x)^2=q(x)s(x)[/tex], che requisiti devono avere questi polinomi? Semplicemente la somma dei coefficienti deve essere il numero di facce del dado a cui mi riferisco, quindi uno dei due deve avere somma dei coefficienti 4 e l'altro 9. Da qui è solo manipolazione di polinomi: come si scompone [tex]p(x)[/tex]? (Per inciso, quella su oliforum è la soluzione completa, ho solo saltato i conti alla fine :lol: )

Non ero riuscito a inquadrare bene questa cosa, ti ringrazio!
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