Little help

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

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Messaggioda Giovanni98 » 01/04/2015, 14:47

Ragazzi, come risolvo sto problema?

Sapendo che $x^8 + \frac{1}{x^8}=47$ dire quanto fa $x^{10}+\frac{1}{x^{10}}$
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Re: Little help

Messaggioda Lasker » 01/04/2015, 15:16

Fa $123$, il primo passaggio è notare che
$$\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)^2=x^8+\frac{1}{x^8}+2=49\Rightarrow x^4+\frac{1}{x^4}=7$$
La continuazione è molto simile, l'idea è sempre cercare di scrivere $x^{10}+\frac{1}{x^{10}}$ come prodotto/somma di quantità che riesci a trovare (se vuoi posso essere più esplicito con gli hint e vincere la pigrizia scrivendo la dimostrazione completa); i conti vengono magicamente benissimo con solo numeri naturali ;)
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
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Re: Little help

Messaggioda polarized » 01/04/2015, 15:20

Hint 1
Testo nascosto:
[tex]x^{2n} + \displaystyle {1 \over x^{2n}} = \left( x^n + \frac{1}{x^n} \right)^2 -2[/tex]
Svolgi il quadrato e te ne accorgi


Soluzione (sperando sia senza errori :lol: )
Testo nascosto:
[tex]x^{8} + \displaystyle {1 \over x^{8}}= 47= \left( x^4 + \frac{1}{x^4} \right)^2 -2 \Rightarrow \left( x^4 + \frac{1}{x^4} \right)^2=49 \Rightarrow x^4 + \frac{1}{x^4} =7[/tex]
Continuo così e trovo [tex]x^2 + \frac{1}{x^2}=3[/tex]
Adesso provo a inventarmi un modo per scrivere [tex]x^{10} + \frac{1}{x^{10}}[/tex] in qualcosa che mi è più congeniale:
[tex]x^{10} + \frac{1}{x^{10}}=\left( x^4 + \frac{1}{x^4} \right)*\left( x^6 + \frac{1}{x^6} \right)-x^2 + \frac{1}{x^2}[/tex]
Però questo [tex]x^6 + \frac{1}{x^6}[/tex] non lo ho ancora, devo smontarlo come mi comoda di più
[tex]x^6 + \frac{1}{x^6}=\left( x^4 + \frac{1}{x^4} \right)*\left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)-x^2 + \frac{1}{x^2}=7*3-3=18[/tex]
Quindi ho
[tex]x^{10} + \frac{1}{x^{10}}=7*18-3=123[/tex]

Uh, che faticaccia :D spero di non aver sbagliato nulla, in ogni caso spero che almeno il procedimento sia corretto :roll:
"In geometria tutto con Pitagora, in algebra tutto con Tartaglia"
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Re: Little help

Messaggioda Giovanni98 » 01/04/2015, 15:23

Grazie mille ad entramb :D
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