Limite lodevole

Oltre la matematica elementare: teoria, esercizi, e riflessioni sulle varie branche della matematica che si fanno all'università.

Limite lodevole

Messaggioda Gizeta » 07/08/2016, 20:27

Calcolare a mente (e scrivere il risultato con annesso ragionamento qui :lol: )

[tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+...+\sqrt[n]{n}}{n}}[/tex]
Gizeta
 
Messaggi: 814
Iscritto il: 27/11/2013, 17:16

Re: Limite lodevole

Messaggioda Rho33 » 07/08/2016, 21:56

Bon, premetto che non ho ancora studiato queste cose, quindi di analisi so davvero poco, quindi ho provato questo esercizio in modo diverso, come se fosse una stima di TdN :oops:

Metto in spoiler, per paura della grande quantità di scemenze :oops:

Testo nascosto:
Quel limite fa $1$ ! L'osservazione chiave è che $\sqrt[k] k$ è circa il numero di potenze $k \text{-esime} \ \ \leq k$. Ora è chiaro che ogni addendo fa $1$ al crescere di $n$ (e quindi quell'infinito là sotto si mangia tutto) , cioè soltanto $1$ è una tale potenza (ad esempio, il numero di potenze quinte $<5$ è $1$, poiché $x^k>k$ per $x \geq 2$), e dato che vi sono $n$ addendi, viene ovviamente:

$$ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+...+\sqrt[n]{n}}{n}}= \dfrac {n}{n}=1$$

Chiedo molto umilmente un commento e soprattutto una eventuale correzione :oops:
Rho33
 
Messaggi: 489
Iscritto il: 16/09/2014, 11:14

Re: Limite lodevole

Messaggioda Veritasium » 07/08/2016, 22:21

Sinceramente non credo proprio che funzioni, ovvero dire "[tex]k^{\frac{1}{k}}[/tex] è circa il numero di potenze [tex]k-[/tex]esime [tex]\le k[/tex]" ha poco senso, poiché appunto questo numero è sempre [tex]1[/tex]. Poi che il limite faccia [tex]1[/tex] può anche essere, ma andrebbe mostrato che il numeratore [tex]f(n)[/tex] è [tex]n + o(n).[/tex] Ora mostro che si ha comunque [tex]f(n) > n + log n[/tex]. Se poniamo [tex]g(n) = f(n) - n[/tex] si ottiene facilmente, essendo [tex](1 + 1/n)^n < e[/tex] che [tex]g(n) >> \sqrt 2 - 1 + \sum_{k=3}^{n} k^{-1} = \sqrt 2 - 1 + log n + c - 3/2 = O(log n)[/tex] (dove [tex]c[/tex] è Eulero Mascheroni è le uguaglianze sono prese al limite) poiché con ognuno dei termini arriviamo massimo fino a [tex]e[/tex] invece che [tex]k[/tex]. Quindi la nostra [tex]g[/tex] cresce più velocemente di [tex]log n[/tex] e quindi non è proprio cosi piccola, ma sarà probabilmente lo stesso [tex]o(n)[/tex].
Veritasium
 
Messaggi: 206
Iscritto il: 30/03/2015, 20:36

Re: Limite lodevole

Messaggioda Rho33 » 07/08/2016, 22:41

Bhe, diciamo che mi aspettavo una risposta del genere :oops: Purtroppo non ho le conoscenze per capire tutto il tuo messaggio, ma quelle "O" indicano una specie di errore/resto, sbaglio? Perché fino ad ora le avevo viste solo in informatica, in particolare "O grande" e presumo abbia una funzione simile in matematica :oops:
Rho33
 
Messaggi: 489
Iscritto il: 16/09/2014, 11:14

Re: Limite lodevole

Messaggioda Veritasium » 07/08/2016, 23:04

Veritasium
 
Messaggi: 206
Iscritto il: 30/03/2015, 20:36

Re: Limite lodevole

Messaggioda Lasker » 08/08/2016, 13:18

Bonus: Calcolare anche il limite
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=0}^n \sqrt[k]{k!}}{n^2}$$
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Lasker
 
Messaggi: 828
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00

Re: Limite lodevole

Messaggioda Veritasium » 08/08/2016, 13:55

Lasker ha scritto:Bonus: Calcolare anche il limite
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=0}^n \sqrt[k]{k!}}{n^2}$$


È
Testo nascosto:
[tex]\frac{1}{2e}[/tex]
?
E soprattutto, c'è un modo "elementare" senza Stirling?
Veritasium
 
Messaggi: 206
Iscritto il: 30/03/2015, 20:36

Re: Limite lodevole

Messaggioda Lasker » 09/08/2016, 0:29

@Veritasium: Sì e sì! (sempre che non abbia sbagliato)
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Lasker
 
Messaggi: 828
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00

Re: Limite lodevole

Messaggioda Gizeta » 12/08/2016, 20:00

Uhm, nel primo il "truccone" consiste nel vedere

[tex]\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^n \sqrt[k]{k}}{\displaystyle n}[/tex]

come media di Cesàro della "successione" [tex]\{n \mapsto \sqrt[n]{n}:\mathbb{N}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}\}[/tex], e per roba più o meno nota risulta che il limite della "successione" delle medie è equivalente a [tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{(\sqrt[n]{n})}=1[/tex].

Su due piedi non so dire se tale trucco possa essere riciclato in qualche modo furbo per il limite di Lasker :roll:
Gizeta
 
Messaggi: 814
Iscritto il: 27/11/2013, 17:16

Re: Limite lodevole

Messaggioda Lasker » 12/08/2016, 23:58

Eh, il mio truccone è più potente :lol:
Testo nascosto:
Diciamo più propriamente che è una generalizzazione piuttosto estesa del tuo!

Comunque la dimostrazione del "cannone" non usa fatti noti o idee strane, quindi dovrebbe venire direttamente dalla definizione di limite senza troppa fatica, quindi non spoilero!
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Lasker
 
Messaggi: 828
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00


Torna a Matematica Universitaria

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 0 ospiti