Lanciare una moneta

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Lanciare una moneta

Messaggioda ngshya » 23/12/2013, 20:20

Si lancia una moneta equa 2n volte, qual è la probabilità che all'2n-esimo lancio si abbia per la prima volta che il numero delle teste sia uguale al numero delle croci?
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Re: Lanciare una moneta

Messaggioda Lasker » 24/12/2013, 9:26

L'esercizio è un po' tecnico, mi piace :D
Il problema può essere reinterpretato in questo modo: qual la probabilità che data una griglia $n\times n$ un percorso sia sempre sotto la diagonale?
Questa si fa con i numeri di Catalan:
$$\frac{C_n}{2n\choose n}=\frac{\frac{1}{n+1}{2n\choose n}}{2n\choose n}=\frac{1}{n+1}$$
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Re: Lanciare una moneta

Messaggioda Drago » 24/12/2013, 10:57

Allora la richiesta si può riformulare così: dimostrare che $\displaystyle C_n=\frac1 {n+1}\binom {2n} n $ :P
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Re: Lanciare una moneta

Messaggioda Archimede » 24/12/2013, 12:05

Edit: errore ;-)
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Re: Lanciare una moneta

Messaggioda Lasker » 24/12/2013, 12:12

Perché è richiesta una probabilità; i casi favorevoli sono $C_n$, mentre i casi possibili sono tutti i possibili "anagrammi" di $n$ freccette verso destra ed $n$ freccette verso l'alto, cioè ${2n\choose n}$.
Edit: scusa, ho inviato prima di vedere la correzione.
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Re: Lanciare una moneta

Messaggioda Archimede » 24/12/2013, 12:13

C'ero arrivato con scoppio ritardato, mi sono appena svegliato e ho ancora la testa nel mondo dei sogni :-D :-D :-D
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Re: Lanciare una moneta

Messaggioda xXStephXx » 25/12/2013, 19:36

Comunque tornando a quello iniziale, i casi totali credo siano [tex]2^{2n}[/tex].
Poi mi sa che bisona moltiplicare i casi favorevoli per [tex]2[/tex] e forse c'è pure una traslazione di [tex]1[/tex] negli indici di Catalan.

Volendo per ottenere quel fatto si può segnare su ogni nodo della griglia il numero di modi in cui si può raggiungere quel nodo rimanendo sotto la diagonale. Questo numero è dato dal numero di modi in cui si può raggiungere il nodo sottostante più il numero di modi in cui si può raggiungere il nodo a sinistra. Quindi partendo da sinistra in basso si può procedere per ricorrenza.
Alla fine si possono aumentare tutti i numeri ottenuti in modo da raggiungere il coefficiente binomiale corrispondente alla stessa posizione nel triangolo di pascal e si nota che tutti gli incrementi sono a loro volta dei coefficienti del triangolo di pascal traslati di [tex]1[/tex].
Da ciò si ottiene che [tex]C_n+\binom{2n}{n-1} =\binom{2n}{n}[/tex]
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Re: Lanciare una moneta

Messaggioda xXStephXx » 25/12/2013, 21:16

Facendo per bene i conticelli.. nel problema iniziale la formula con cui si ottiene il numero di modi con cui possono uscire [tex]a[/tex] teste e [tex]b[/tex]
croci in modo che le teste siano sempre maggiori delle croci è data da:
[tex]\displaystyle f(a,b)= \binom{a+b-2}{a-2} - \binom{a+b-2}{a}[/tex] ottenuto sempre col procedimento del messaggio precedente.

In particolare si nota che [tex]f(n,n) = f(n, n-1)[/tex] poichè wlog le croci devono essere sempre meno delle teste salvo nell'ultimo passaggio che diventano uguali e la scelta finale è obbligata.
Da cui [tex]f(n,n) = f(n, n-1) = \binom{2n-3}{n-2} - \binom{2n-3}{n}[/tex] che è l'[tex]n-1[/tex]-esimo numero di Catalan.
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Re: Lanciare una moneta

Messaggioda Lasker » 25/12/2013, 21:38

Ah, io ho preso "il numero delle teste uguale a quello delle croci" come dato, e "prima volta" come condizione :oops:
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Re: Lanciare una moneta

Messaggioda nil » 25/12/2013, 21:44

Lasker ha scritto:Ah, io ho preso "il numero delle teste uguale a quello delle croci" come dato, e "prima volta" come condizione :oops:

Penso che la tua reinterpretazione andasse bene se avessi considerato le possibilità che il percorso sìa sempre sotto o sempre sopra

edit: credo che in quel caso comunque $C_n$ conti anche i percorsi che toccano la diagonale :?
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