[L04] La sezione nasconde il trucco

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

[L04] La sezione nasconde il trucco

Messaggioda Gerald Lambeau » 08/05/2017, 19:30

Dimostrare che $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \frac{i}{2^i}=2$.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: [L04] La sezione nasconde il trucco

Messaggioda Veritasium » 08/05/2017, 19:48

Testo nascosto:
$2 - \sum_{n = 1}^{N} \frac{n}{2^n} = \frac{2^{N+1} - (2^{N-1}•1 + 2^{N-2}•2 + ... +1•N)}{2^N}
= \frac{S_N}{2^N} = \frac{N+2}{2^N}$ per la seguente induzione:
[tex]S_1[/tex] vero
[tex]S_{N+1} = S_N + 2^{N+1} - (2^{N} + ... + 1) = S(N)
+ 1[/tex]
Prendendo il limite si ha la tesi.
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Re: [L04] La sezione nasconde il trucco

Messaggioda Gerald Lambeau » 08/05/2017, 19:56

Buona.
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Re: [L04] La sezione nasconde il trucco

Messaggioda Salvador » 04/06/2017, 23:40

Forse è un po' improprio ma sembra funzionare...
Testo nascosto:
Chiamiamo $x$ la quantità cercata. Allora si ha:
$x=1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+6/64+7/128+...=(1/2+2/4)+(1/2-1/8)+1/4+(1/8+1/32)+(1/16+2/64)+(1/32+3/128)+...=1-1/8+(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...)+(1/32+2/64+3/128+...)=15/8+1/16x$, ovvero $x=15/8+1/16x$, da cui $x=2$.
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Re: [L04] La sezione nasconde il trucco

Messaggioda Gerald Lambeau » 05/06/2017, 10:49

È giusta! :)
È anche bella, solo che per come tratti la somma devi avere l'ipotesi che sia convergente, ma dato dato che ti ho detto nel testo che ha un limite l'ipotesi ce l'hai, quindi è perfetta.
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Re: [L04] La sezione nasconde il trucco

Messaggioda Salvador » 05/06/2017, 12:34

Ottimo grazie! :lol:
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