Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

[Dudin]

Una classe di 20 alunni riceve la pagella e non ci sono due alunni che hanno preso lo stesso voto sia in matematica scritta che orale. Diremo che l'alunno A è più bravo di B se i voti di A sono maggiori o uguali dei corrispondenti voti di B.

a) dimostrare che esistono 3 alunni A, B, C tali che A é più bravo di B e B è più bravo di C

b) la tesi rimarrebbe vera con meno di 20 alunni?

[Vinciii]

Scusa, ma i voti variano da $1$ a $10$?

[Dudin]

Dimenticavo la cosa più importante xD
Si, i voti variano da 1 a 10 estremi inclusi

[Vinciii]

Provo il punto $a$

Testo nascosto:

Se i voti variano tra $1$ e $10$ (compresi) allora le possibili pagelle sono $100$. Tra queste dobbiamo sceglierne $20$, e distinguiamo tre casi:
$i)$ ci sono almeno tre persone che hanno preso lo stesso voto allo scritto, ed in questo caso la tesi è vera, basta ordinarli secondo il voto dell'orale;
$ii)$ ci sono almeno tre persone che hanno preso lo stesso voto all' orale, uguale al caso precedente;
$iii)$ ci sono esattamente $2$ persone per ogni voto sia allo scritto che all'orale. Ora, sia $(\alpha,\beta)$ la coppia di voti (scritto,orale). Per risolvere il terzo punto, consideriamo la coppia di persone che hanno preso $1$ allo scritto:
$(1,a)$ e $(1,b)$, dove per ipotesi $b\ne a$ e $WLOG$ $b>a$. Ci sarà esattamente un'altra persona che ha preso $b$ all'orale ed un voto $x$ maggiore di uno allo scritto, e quindi abbiamo che $(1,a)<(1,b)<(x,b)$ che è la tesi.

[Vinciii]

Per il punto $b$

Testo nascosto:

No, infatti prendiamo le pagelle $\begin{multline}
(1,10),(1,9),(2,9),(2,8),(3,8),(3,7),(4,7),(4,6),(5,6),(5,5),(6,5),(6,4),(7,4),(7,3), \\ (8,3),(8,2),(9,2),(9,1),(10,1)
\end{multline}$, infatti abbiamo (nello stesso ordine) $(1,10)>(1,9)<(2,9)>(2,8)<(3,8)>(3,7)<(4,7)>(4,6)<(5,6)>(5,5)<(6,5)>(6,4)<(7,4)>(7,3) \\ <(8,3)>(8,2)<(9,2)>(9,1)<(10,1)$ e quindi prese due qualunque non vicine esse non sono confrontabili (nessuno dei due è più bravo).

[Dudin]

Benissino il punto a è corretto sicuramente è corretto anche il punto b ma non mi fa vedere l'intera lista di voti che hai messo

[Vinciii]

Adesso modifico

[Dudin]

Ok giusto anche il punto b