[L04] Ipotesi piuttosto simpatiche

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

[L04] Ipotesi piuttosto simpatiche

Messaggioda Gerald Lambeau » 31/05/2016, 21:37

Trovare tutte le $f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ tali che $f(xf(y))=yf(x)$ e $f(x) \rightarrow 0$ quando $x \rightarrow \infty$.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: [L04] Ipotesi piuttosto simpatiche

Messaggioda Giovanni98 » 01/06/2016, 10:06

Dimostro che $f(1)=1$.

Pongo $x=1$, ottenendo $f(f(y)) = yf(1)$ da cui ottengo che $f$ è bigettiva.
Pongo $y = 1$ e ottengo $f(xf(1)) = f(x)$ che per la bigettività di $f$ implica $f(1)=1$.

Ne consegue che $f(f(x))=x$.

Ponendo ora $y \rightarrow f(y)$ (ricordiamo che $f$ è bigettiva) si ottiene $f(xy) = f(x)f(y)$ per ogni $x,y \in \mathbb{R^+}$. Ma quest'equazione funzionale è un'equazione di Cauchy, la cui soluzione è $f(x)=x^c$ per ogni $x$ reale positivo.

Dal momento che $x^c \rightarrow 0$ per $x \rightarrow \infty$ chiaramente $c<0$, quindi pongo $c=-d$ con $d > 0$ ottenendo $f(x) = \dfrac{1}{x^d}$.

Sostituendo la funzione trovata nell'equazione del testo si ottiene $y^{d-1} = 1$ per ogni $x,y>0$ , da cui necessariamente $d=1$. Ne consegue che l'unica funzione che soddisfa è $f(x) = x^{-1}$.
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Re: [L04] Ipotesi piuttosto simpatiche

Messaggioda Gerald Lambeau » 01/06/2016, 13:58

Buona!
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: [L04] Ipotesi piuttosto simpatiche

Messaggioda Salvador » 14/04/2017, 17:28

Non c'è anche la funzione nulla?
Se $f(y)=0$ allora $f(xf(0))=f(0)=0f(x))$ e $f(x)\rightarrow0$ per $x\rightarrow\infty$, essendolo già.
O mi sbaglio?
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Re: [L04] Ipotesi piuttosto simpatiche

Messaggioda Roob » 14/04/2017, 21:01

Salvador ha scritto:Non c'è anche la funzione nulla?
Se $f(y)=0$ allora $f(xf(0))=f(0)=0f(x))$ e $f(x)\rightarrow0$ per $x\rightarrow\infty$, essendolo già.
O mi sbaglio?

[tex]\mathbb {R}^+ \rightarrow \mathbb {R}^+[/tex]
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Re: [L04] Ipotesi piuttosto simpatiche

Messaggioda parisgermain98 » 14/04/2017, 21:34

Giovanni98 ha scritto:Dimostro che $f(1)=1$.

Pongo $x=1$, ottenendo $f(f(y)) = yf(1)$ da cui ottengo che $f$ è bigettiva.
Pongo $y = 1$ e ottengo $f(xf(1)) = f(x)$ che per la bigettività di $f$ implica $f(1)=1$.

Ne consegue che $f(f(x))=x$.

Ponendo ora $y \rightarrow f(y)$ (ricordiamo che $f$ è bigettiva) si ottiene $f(xy) = f(x)f(y)$ per ogni $x,y \in \mathbb{R^+}$. Ma quest'equazione funzionale è un'equazione di Cauchy, la cui soluzione è $f(x)=x^c$ per ogni $x$ reale positivo.

Dal momento che $x^c \rightarrow 0$ per $x \rightarrow \infty$ chiaramente $c<0$, quindi pongo $c=-d$ con $d > 0$ ottenendo $f(x) = \dfrac{1}{x^d}$.

Sostituendo la funzione trovata nell'equazione del testo si ottiene $y^{d-1} = 1$ per ogni $x,y>0$ , da cui necessariamente $d=1$. Ne consegue che l'unica funzione che soddisfa è $f(x) = x^{-1}$.

puoi dirmi perchè la prima condizione implica che f sia bigettiva? non lo capisco :oops:
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