da CaptainJohnCabot » 15/08/2017, 22:03
Si pone il triangolo in un piano cartesiano che ha l'asse x coincidente con BC e l'asse y con AD. Se P è un punto le sue coordinate siano $(x_P, y_P)$. Si ha $A(0 , y_A)$ , $B(x_B, 0)$, $C(14+x_B,0)$ e $D(0,0)$. Si inizia con il trovare $x_B$ e $y_A$.
\begin{equation}
AB=13=\sqrt{x_B^2+y_A^2}\implies y_A=\sqrt{13^2-x_B^2}
\end{equation}
\begin{equation}
AC=15=\sqrt{x_C^2+y_A^2}=\sqrt{(14+x_B)^2+y_A^2}
\end{equation}
E unendo queste due condizioni si ottiene:
\begin{equation}
x_B=-5\implies y_A=12
\end{equation}
Quindi si ha $A(0,12)$, $B(-5,0)$, $C(9,0)$ e $D (0,0)$.
Si procede ora col determinare le coordinate dei centri $C_1$ e $ C_2$ rispettivamente di [tex]\omega_1[/tex] e [tex]\omega_2[/tex]. Dato che $C_1$ e $C_2$ sono gli incentri rispettivamente di [tex]\Delta ABD[/tex] e [tex]\Delta ACD[/tex] le loro coordinate sono:
\begin{equation}
C_1\,\biggl(\frac{x_D\cdot AB+x_A\cdot BD+x_B\cdot AD}{AB+BD+AD} , \, \frac{y_D\cdot AB+y_A\cdot BD+y_B\cdot AD}{AB+BD+AD}\biggr)\longrightarrow C_1\,(-2,\,2)
\end{equation}
\begin{equation}
C_2\,\biggl(\frac{x_A\cdot DC+x_D\cdot AC+x_C\cdot AD}{AD+DC+AC} ,\, \frac{y_A\cdot DC+y_D\cdot AC+y_C\cdot AD}{AD+DC+AC}\biggr)\longrightarrow C_2\,(3,\,3)
\end{equation}
Sia [tex]t:\,y= mx+q[/tex] la tangente comune alle due circonferenze cercata. Si ha che t e [tex]\omega_1[/tex] sono tangenti se la distanza di $C_1$ da t è $r_1$. La condizione di tangenza è allora:
\begin{equation}
r_1=\frac{\mid y_{C_1}-mx_{C_1}-q\mid}{\sqrt{1+m^2}}\implies q^2+8m-4q-4mq=0
\end{equation}
Analogamente dalla tangenza fra t e [tex]\omega_2[/tex] si ha:
\begin{equation}
r_2=\frac{\mid y_{C_2}-mx_{C_2}-q\mid}{\sqrt{1+m^2}}\implies q^2-18m - 6q +6mq=0
\end{equation}
Si deve risolvere quindi il sistema dato da queste due condizioni. Sottraendole fra loro si ottiene:
\begin{equation}
26m-10mq+2q=0\implies m=\frac{q} {5q-13}
\end{equation}
Sostituendo quindi nella prima condizione si ha la seguente:
\begin{equation}
5q^3-37q^2+60q=0
\end{equation}
Dato che la tangente esterna cercata non è BC, ovvero [tex]q\ne 0[/tex], è possibile dividere per q ottenendo:
\begin{equation}
5q^2-37q+60=0
\end{equation}
Le soluzioni di questa equazione sono 5 e $\frac{12}{5}$. La tangente esterna t cercata si ha per [tex]q=5[/tex]. Per come è definito, il punto E ha coordinate $(0, q)$ pertanto:
\begin{equation}
AE=y_A-q\implies AE=7
\end{equation}
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CaptainJohnCabot il 16/08/2017, 20:32, modificato 1 volta in totale.
"Transire suum pectus mundoque potiri"