Il gioco delle sedie

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Re: Il gioco delle sedie

Messaggioda Livex » 15/12/2013, 18:47

@archimede cosi dimostri che quando n è dispari è impossibile eseguire la procedura, ma non che quando è pari si possa fare

è un se e solo se
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Re: Il gioco delle sedie

Messaggioda Gizeta » 15/12/2013, 19:09

Il che è evidente e può essere dimostrato con una sorta di induzione: è palesemente vero per [tex]n=2[/tex]; il successivo quadrato ottenibile è quello [tex]4x4[/tex] e possiamo ottenerlo contornando quello [tex]2x2[/tex], quindi nella parte centrale (quadrato [tex]2x2[/tex]) è possibile eseguire il riarrangiamento, ma anche nel contorno infatti basta far scalare i quadratini di un posto. E la dimostrazione è parecchio generale nonostante adoperi dei valori particolari.

p.s. Questa argomentazione potrebbe andar bene anche per dimostrare che per [tex]n[/tex] dispari non è possibile.
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Re: Il gioco delle sedie

Messaggioda Gizeta » 15/12/2013, 19:24

Se si potessero muovere solo sulle diagonali la situazione sarebbe analoga:

[tex]n[/tex] pari: la tesi è evidente per [tex]n=2[/tex] infatti possiamo scambiare i ragazzi lungo le diagonali. Notiamo che questo caso risolve anche tutti gli altri, infatti per ogni [tex]n[/tex] pari maggiore di 2 possiamo decomporre il quadrato in tanti piccoli quadrati [tex]2x2[/tex] in cui scambiare lungo le diagonali i ragazzi.

[tex]n[/tex] dispari: è impossibile, basta considerare le diagonali del quadrato, esse contengono infatti un numero dispari di sedie, conseguentemente il ragazzo centrale comune alle due diagonali dovrà rimanere fermo al suo posto. Alternativamente, la tesi è evidente per [tex]n=3[/tex], i successivi [tex]n[/tex] dispari si ottengono contornando il quadrato, ma notiamo che in tal modo si aggiungono ogni volta un numero pari di quadrati lungo le diagonali, quindi la tesi continua a sussistere.
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Re: Il gioco delle sedie

Messaggioda Xeanort » 15/12/2013, 21:05

Propongo una continuazione dell'esercizio:
ritenendo che ogni alunno è unico, quanti spostamenti totali diversi si potrebbero ottenere in un quadrato [tex]n*n[/tex]?
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Re: Il gioco delle sedie

Messaggioda xXStephXx » 15/12/2013, 21:08

Comunque bene o male la sufficienza l'aveva già dimostrata col fatto dei tasselli [tex]2 \times 1[/tex]

Gizeta ha scritto:p.s. Questa argomentazione potrebbe andar bene anche per dimostrare che per [tex]n[/tex] dispari non è possibile.


Asp davvero?
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Re: Il gioco delle sedie

Messaggioda Gizeta » 15/12/2013, 21:28

xXStephXx ha scritto: Asp davvero?


No :lol:
Prima mi pareva si potesse fare e invece funziona bene solo nel caso dello spostamento in diagonale dove il contornare fornisce un invariante sulla parità del numero di caselle della diagonale.
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Re: Il gioco delle sedie

Messaggioda Livex » 15/12/2013, 21:33

Vale sempre la pena di essere pignoli, anche se infondo si, era evidente :)
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