Identita' di Sophie Germain (polinomi)

Tutto ciò che dovete sapere per arrivare preparati alle competizioni matematiche.

Identita' di Sophie Germain (polinomi)

Messaggioda CosecantofPi » 16/04/2017, 11:08

Scrivo qui l'identia' poiche' e' un identita' molto utile e facile che ci permette di scomporre la somma di due quadrati, se soddisfano alcuni criteri.
Dovrebbe essere un MUST per tutti gli olimpionici che si occupano specialmente di Algebra, ma lo riposto nella speranza che i nuovi iscritti che non la conoscano, la imparino. Passiamo al dunque.
Cosa fa?
Ti permette di fattorizzare $x^2+y^2$. Wow
A che condizione?
$2xy$ deve essere un quadrato.
Il trucchetto e' aggiungere alla somma dei quadrati, proprio $2xy$ per poi toglierlo. Vediamo:
$a^4 + 4b^4=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2$
Notiamo nell'$RHS$ che $a^4+4a^2b^2+4b^4$ e' $(a^2+2b^2)^2$, e che $4a^2b^2=(2ab)^2$. Riscriviamo quindi:
$a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2$. Notiamo che questa e' una differenza di 2 quadrati, e sappiamo bene che $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Quindi
$(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+b^2-2ab)$.
Questo trucchetto e' molto utile in diversi problemi: Ve ne lascio uno dalla gara nazionale della vecchia URSS.
--Is $4^{545} + 545^4$ a prime?
Piccolo Hint:
Testo nascosto:
$4^{545} + 545^4 = 545^4 + 4\cdot(4^{138})^4$ che e' evidentemente l'$RHS$ dell' Identita di Sophie Germain. :)
CosecantofPi
 
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